最大電力供給の定理の素朴な疑問

質問

最大電力供給の定理とは
「付加インピーダンスの値が電源側インピーダンスの値に等しくかつ、共役のとき付加電力は最大になる」
というものですよね？その場合の電力はE^2/4rsとなる。もしくはrsI^2/4
（rsは電源側のインピーダンスの実数）

ふと思ったことですが、疑問があります。
例えば、ココに抵抗(R1とR)を用意して電流電源Jをおくとします。それらをそれぞれ並列に繋ぎます。
この回路の等価回路を考えると、電源EとRとR1の直列回路ができます。
総合インピーダンスは(R1+R)です。
電力はE*Iから、P=(R1+R)*I*I=(R1+R)I^2です。
ここで最大電力供給の定理よりR1=Rを考えると2RI^2となります。
しかし定理ではこの場合rs=R1のため(R1*I^2)/4となるはずですよね？

どうしてでしょうか？またどのようにして導かれるのでしょうか？

回答No.8

Teleskope

１．
>>　抵抗(R1とR)と電流電源Jを並列に繋ぎます。

　R と R1 は「並列に」ですよね。

　　┌──┬──┐　　　　（図１）
　　│ 　 　│ 　 　│
　 （Ｊ）　　 Ｒ 　　　R1
　　｜ 　 　｜ 　 　｜
　　└──┴──┘

>>　この等価回路は電源EとRとR1の直列。<<

　　┌──Ｒ──┐　　　　（図２）
　　│　　　　　　　│
　 （Ｅ）　　　　　　 R1
　　｜　　　　　　　｜
　　└─────┘

　Ｅをちゃんとテブナンの式で求めましたか？ Ｅの式は I と R の関数でしょ？　それを使って計算すれば‥‥以下は御自身で。

２．
あとは余談ですが、「最大電力供給の定理」が対象としてる回路構成は；

電圧電源（Ｅ）の場合は Rs と RL は直列です。
その場合 Pmax = (1/4)・E^2/Rs です。　

　　┌──Rs──┐　　　　（図２A）
　　│　　　　 　 　 │
　 （Ｅ）　　　　　　　RL
　　｜　　　　 　 　 ｜
　　└─────┘
　もし上図で Rs がＥと並列なら その Rs は 電源インピーダンスではありませんよね、電圧電源自身の内部抵抗はゼロでしょ？ それが RL から丸見えだから「RLがそれ（ゼロ）と等しいときが最大電力」です。Pmaxの式から 電力は無限大ですね。

電流電源（Ｊ）の場合は Rs と RL は並列です。
その場合 Pmax = (1/4)・I^2・Rs です。

　　┌──┬──┐　　　　（図２B）
　　│ 　 　│ 　 　│
　 （Ｊ）　　 Rs　　　RL
　　｜ 　 　｜ 　 　｜
　　└──┴──┘
　もし上図で Rs がＪと直列なら、Ｊ自身の内部抵抗は無限大です、それにRsが直列に加わっても やはり無限大。 だから「RLがそれと等しいときが最大電力」です。Pmaxの式から これも電力は無限大ですね。

　どちらも、『 RL が電源の内部抵抗と等しいとき最大になる 』です。定理は一貫してます。

　なお、質問文の『もしくはrsI^2/4』の I は（短絡電流と限るのではなく）電流電源の固有の値、いついかなる場合も一定の電流を出す、その電流値です。

　電流電源Ｊは；両端がどんな電圧でも 一定値 I を供給する。
　電圧電源Ｅは；どんな電流が通っても 一定値Ｅを供給する。

です。回路中でこんな行動をする役者なのです。　たとえ自分自身のプラスマイナスと反対向きの電圧や電流の場合でも、です。

　この辺は誰しも覚える過程で試行錯誤の迷路にはまる所ですからご心配なく。突然道順の全貌が見えます。

回答No.7

ruto

質問者は電源の総電力と負荷の電力とをごっちゃにしてます。
　電源の電圧をE[V]、内部インピーダンスをRs,負荷抵抗をRLとすれば、負荷で消費電力される電力Pは
P＝｛E/（Rs+RL）｝^2×RLとなる。ここでRLを可変してPmaxをもとめると、dP／ｄRL＝0としてRL＝Rsと求められる。Pの最大値、Pmaxは
Pmax＝E^2／（4・RL)となる。このときRsで消費される電力も同じ値になる。
　即ち、電源から供給される電力の内、最大で50％しか負荷に伝えられない。

回答No.6

Piazzolla

>総合インピーダンスは(R1+R)です。
>電力はE*Iから、P=(R1+R)*I*I=(R1+R)I^2です。

これは、回路全体の消費電力ですよね。
最大供給電力は、Rだけの電力を求めています。
（R1でもいいですが。）

>ここで最大電力供給の定理よりR1=Rを考えると2RI^2となります

これは、負荷抵抗Rに最大電力が供給されているときは、電源の内部抵抗にも同じだけ供給されていますから、回路全体では、RI^2の2倍になっているという程度の意味です。

>しかし定理ではこの場合rs=R1のため(R1*I^2)/4となるはずですよね？

ここで比較するところが違います。
(R1*I^2)/4は、R1だけの電力（最大のとき）ですが、最初のほうで言っているのは、RとR1の両方の電力です。

回答No.5

endlessriver

＞電力はE^2/4rsとなる。もしくはrsI^2/4
＃１の方の言うとうり、後半の式は誤りです。
I=E/(2rs)を前半の式にいれれば
　　rsI^2
が正しいのです。
すなわち、「しかし定理ではこの場合rs=R1のため(R1*I^2)/4となるはずですよね」の部分は誤りで R1*I^2 になります。

＞電力はE*Iから、P=(R1+R)*I*I=(R1+R)I^2です
これは電源側の電力も含めているので２倍になってしまいます。
すなわち、付加に供給される電力は　RI^2 です。

以上のように（rs, R, R1 など変数がバラバラですが）論理の進め方に誤りがあります。

回答No.4

LCR707

質問者さんの表現とは少し異なりますが、順に説明すると、

電流源Ｊに並列に、内部コンダクタンスＧ、および負荷コンダクタンスＧ１がつながっている場合に、Ｇ１の大きさを変化させたときのＧ１の最大消費電力を求める問題です。

これを等価回路で表すと、電圧源Ｅと、内部抵抗Ｒ、負荷抵抗Ｒ１が直列につながった回路になります。ただし、
Ｅ＝Ｊ／Ｇ
Ｒ＝１／Ｇ
Ｒ１＝１／Ｇ１
です。

Ｒ１の消費電力Ｐｒ１は

Pr1 = R1 E^2 / (R+R1)^2

なので、これをR1で微分すると

dPr1/dR1 = {(R+R1)^2 - 2R1(R+R1)} / (R+R1)^4 = (R-R1) / (R+R1)^3

となり、これが０になるのは
R1 = R
のときであり、そのときPr1は極値を持つので

Pr1max = RE^2 / (2R)^2 = E^2 / 4R

になります。
ここで最初のＪ、Ｇ、Ｇ１で表せば

G = G1 のとき

Pr1max = J^2 / 4G

になります。

もし、ＲとＲ１の２つとも負荷抵抗だと言うことであれば、電圧源Ｅは無限に電流を取り出せる理想電源ということになるので、最大電力を求める意味がありません。

回答No.3

gura_

定理だと言って闇雲に憶えこむのではなく、内部抵抗がある電源から取り出せる電力について、ご自分で計算してみるとよいと思います。↓
http://www.fnorio.com/0053power_supply1/power_supply1.htm#4

　なお、電圧源の場合実際の電源は電圧源とそれに直列の内部抵抗でで表せますが、
　電流源で考えるときは、実際の電源は、電流源とそれに並列に繋がれた内部抵抗で表現されます。念のため。

参考URL：

http://www.fnorio.com/0053power_supply1/power_supply1.htm#4

回答No.2

LCR707

＞そうなると、例えば抵抗のみの場合最大電力を求めるためにはどうしたらいいのでしょうか？

すみません。意味がわからないので、もう少し詳しくお願いします。
内部抵抗を持たない電圧源の場合でしょうか。

補足

例えば、今回の例で電流源J、抵抗R、抵抗R1が並列につながっている場合の最大電力はどのようにもとめるのでしょうか？
最大電力供給の定理を使うので、まず等価回路を考えます。
すると電圧源E、抵抗R、抵抗R1の直列回路になりますよね？そこからどうやって最大電力を求めるのでしょうか？

回答No.1

LCR707

こんにちは

＞最大電力供給の定理とは・・・その場合の電力はE^2/4rsとなる。もしくはrsI^2/4

とありますが、rsI^2/4　の Ｉ は、短絡電流のことでしょう。
しかしそれ以降の議論で出てくる Ｉ は、実際に抵抗に流れる電流を表しているので、短絡電流のＩを用いた最大電力値とは結果的に４倍異なってしまいます。

補足

なるほど、短絡電流とふつうの電流との違いでしたか。ありがとうございます。

そうなると、例えば抵抗のみの場合最大電力を求めるためにはどうしたらいいのでしょうか？