キルヒホッフを使い電力を求める

質問

＋　－
・－－－E1－－－－R1－－－－・
｜↓　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜→　　＋　－　　　　　　　　　　　｜
｜－－－E2－－－－R2－－－－・
｜→　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜↑　　＋　－　　　　　　　　　　　｜
・－－－E3－－－－R3－－－－・

E1=2[v],E2=4[v],E3=5[v],
R1=2[オーム],R2=3[オーム],R3=4[オーム]
この回路の各抵抗に流れる電力を求める。という問題を作ってみたのですが、

まず電流の式を立ててみました
(R1+R2)I1+R2I2=E2-E1
R2I1+(R2+R3)I2=E2-E3
これに各値を代入して計算して
５I1+３I2=２
３I1+７I2=－１
という式を立てました。ここからI1の値を求めると
I1＝15/26となり、電力P=VI=I2乗Rへ代入して答えを求めました。
つぎにPR2、PR3なのですが、I2とI3を求める式で引っかかってしまいます。
３I1+７I2=－１
のI1部分に代入して、I2を求め、I1のときとおなじ解法で解けば良いのでしょうか？
ご指摘、解法を教えてください。

回答No.1

matelin · ベストアンサー

ア　　＋　－ 　イ ←I1　　　ウ
　・－－－E1－－－－R1－－－－・
　｜↓　　　　　　　　　　　　　 　 　　　｜
　｜→　＋　－　オ 　→I2　　　　 　 　｜
エ｜－－－E2－－－－R2－－－－・カ
　｜→　　　　　　　　　　　　　　 　 　　｜
　｜↑　＋　－　ク 　←I3　　　　　 　｜
キ・－－－E3－－－－R3－－－－・ケ

こんばんは。
あなたのキルヒホッフの式の立て方に誤りがあるように思います。

キルヒホッフの法則は、次のように言えます。
「　任意の閉回路において、電位差の代数和は０になる　」
上図で、例えば、[ イ→ア→エ→オ→カ→ウ→イ ]　という閉回路を例にとって、キルヒホッフの法則を具体的に説明しましょう。

イ→アに移るとき、電位はＥ１[ボルト]だけ上がります。なので電位の変化は（＋Ｅ１）です。
ア→エに移るとき、電位は変化しません。
エ→オに移るとき、電位はＥ２[ボルト]だけ下がります。なので電位の変化は（－Ｅ２）です。
オ→カに移るとき、電位はＲ2Ｉ2[ボルト]だけ下がります。なので電位の変化は（－Ｒ2Ｉ2）です。
カ→ウに移るとき、電位は変化しません。
ウ→イに移るとき、電位はＲ1Ｉ1[ボルト]だけ下がります。なので電位の変化は（－Ｒ1Ｉ1）です。

これで元の出発点に戻ってきました。その間の電位の変化量の合計は、
　　＋Ｅ１－Ｅ２－Ｒ2Ｉ2－Ｒ1Ｉ1
です。キルヒホッフの法則によると、これが＝０になるのです。

次に、もう一つの閉回路 [ オ→エ→キ→ク→ケ→カ→オ ] についても、同じように考えて、式を立てます。

さらに、もう一つのキルヒホッフの法則から
　Ｉ1＋Ｉ3＝Ｉ2　の関係も成り立ちます。

以上の３つの式を連立して、これを解いて、Ｉ1、Ｉ2、Ｉ3、を求めます。

お礼

一つ一つ順番にたどって理解してといていき、無事答えを導き出すことができました。ありがとうございます＾＾

回答No.5

foobar

#2です。
訂正です
左辺の符号は良くて、左辺と右辺の関係(正負)一度確認される方がよいかと。
(正負が反転しているような、、)

補足

皆さんのご指摘を参考に、無事解法を理解することができました。
みなさん、ありがとうございました。

回答No.4

poteta

＞R3に流れる電流はI3なのでP=R3 * I3^2
R3に流れる電流はI2なのでP=R3 * I2^2

ここ間違えていました。すみません。

回答No.3

poteta

#2さんも仰っていますがasudesuさんの解き方は網電流を用いた方法ですね。
で、式はあっていると思いますので、I1とI2を求めます。
R1に流れる電流はI1なのでP=R1 * I1^2
R2に流れる電流は(I1+I2)なのでP=R2 * (I1+I2)^2
R3に流れる電流はI3なのでP=R3 * I3^2
となりますね。

回答No.2

foobar

ご質問の式からするとasudesuさんは（少なくとも前半は）網電流を使って解こうとされているように思えます（＃１さんのは線電流を使った解法。網電流を使うと、キルヒホッフの第一法則が最初から織り込まれてるので、第二法則の式を立てるだけですみます）

で、ご質問の中の式を見ると、最初の二式で、左辺の符号が一部怪しいかと。定義した電流の向きから、抵抗の電圧降下の向き（と大きさ）をきちんと図に書いて、そののち、＃１さん回答に有るようにループ内で一巡の電圧（降下）の和が0になる、という具合に式を立てられたほうが良いかと。

それから、網電流を使う場合、I3は計算には出てきません。
I2を求めた後、
R2,R3に流れている電流がそれぞれI1+I2,I2になることから、それぞれの消費電力を算出することになります。