回路の問題 最大消費電力

質問

電気回路の問題です。写真の回路において、Cの値だけを調整してRの消費電力Pを最大にするには、Cの値をいくらにすればよいか、さらにRとCの両方を調整してPを最大にするにはRおよびCをいくらにすればよいか　という問題があるのですがやり方がわかりません。答えは解説がないタイプで困っています。与えられている数値は
ベクトルE=100∠0°【V】、L=0.05【H】、f=50【Hz】、R=20【Ω】、R1=30【Ω】、C=200【μF】です(CとRを変更すること)
となっています。

お手数おかけしますがよろしくお願いします。

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回答No.3

info222_

>ベクトルE=100∠0°【V】、L=0.05【H】、f=50【Hz】、R=20【Ω】、R1=30【Ω】、C=200【μF】

ω= 2πf=2π*50=100π [rad/s] , XL=2πf L=100π*0.05=5π [Ω], XC=1/(ωC)=1/(100πC) [Ω]

>Cの値だけを調整してRの消費電力Pを最大にするには、Cの値をいくらにすればよいか、
E=(R1+R) I + j (ωL-1/ωC) I =(R1+R) I + j (XL-XC)
I=E / {(R1+R)+j (XL-XC) } =100 / { 30+R+j (5π-1/(100πC))}
| I |^2=[100 / { 30+R+j (5π-1/(100πC))}]*[100 / { 30+R-j (5π-1/(100πC))}]
=10000/{ (30+R)^2+(5π-1/(100πC))^2 }
=10000/ { (30+R)+(5π-1/(100πC))^2 }
P=R | I |^2=10000R/{(30+R)^2+(5π-1/(100πC))^2 }

>Rの消費電力Pを最大にするには
5π-1/(100πC)=0
C=1/(100π*5π)=1/(500π)^2 [F]
≒0.4053*10^-6 [F] =0.4053 [μF] =405.3 [nF] ... (Ans.)

>さらにRとCの両方を調整してPを最大にするにはRおよびCをいくらにすればよいか
P=R | I |^2=10000R/{(30+R)^2+(5π-1/(100πC))^2 }
Cだけを変化させた時にPPを最大にするCが
C =405.3 [nF] であり この時のPの最大値は
P=10000R/(30+R)^2
さらにRを変化させる。
dP/dR=(10000(30-R))/(R+30)^3
0<R<30の時 dP/dR>0, R>30の時 dP/dR<0 なので dP/dR=0の時(R=30[Ω]の時)
Pは最大値Pmax=10000*30/(30+30)^2=250/3≒83.3 [W]
をとる。
(Ans.) R=30 [Ω], C =405.3 [nF]

回答No.2

inara1

以下に計算方法を書きますが、途中の式変形が間違っているかもしれないので、ご自分で計算してみて確認してください。

電源 Eにつながっている素子は全て直列ので、そのインピーダンス Z は
Z = R1 + R + j*ω*L + 1/(j*ω*C)
= R1 + R + j*{ ω*L - 1/(ω*C) }
です。j は虚数単位です。

ここで X を実数として
X = ω*L - 1/(ω*C)
とおくことにします。そうすると
Z = R1 + R + j*X
と少し簡単になります。

回路に流れる電流 I は
I = E/Z = E/( R1 + R + j*X )
ですが、この電流は4つの素子すべてに同じ電流が流れるので、抵抗 R にも I の電流が流れます。したがって、R の両端の電圧 V は、オームの法則から
V = I*R
となります。R が消費する電力 Ｐ は、電流と電圧の積なので
P = I*V = R*I^2
= R*E^2/( R1 + R + j*X )^2
= R*E^2/{ ( R1 + R )^2 - X^2 + j*2*X*( R1 + R ) }
となります。

この式は複雑に見えますが、A と B を実数としたとき
P = R*E^2/( A + j*B )
という形になっています。P は複素数ですが、このような形のとき、Pの大きさ |P| は
|P| = R*E^2/√( A + j*B )
で表わされます。

問題は |P| が最大となる条件を求めることですが、√ を消すために、|P|^2を計算することにします。そうすると
|P|^2 = ( R*E^2 )^2/[ { ( R1 + R )^2 - X^2 }^2 + { 2*X*( R1 + R ) }^2 ]
= R^2*E^4/{ ( R1 + R )^4 + X^4 - 2*X^2*( R1 + R )^2 + 4*X^2*( R1 + R )^2 }
= R^2*E^4/{ ( R1 + R )^4 + X^4 + 2*X^2*( R1 + R )^2 }
= R^2*E^4/{ X^2 + ( R1 + R )^2 }^2
となります。RもX^2 + ( R1 + R )^2も正の数なので
|P| = R*E^2/{ X^2 + ( R1 + R )^2 }
となります。

X は ω の関数で、R*E^2 や ( R1 + R )^2 は ω の関数ではないので、ω が変化したときに |P| が最大となるのは X^2 が最小となる場合（ X = 0 の場合）です。X というのは
X = ω*L - 1/(ω*C)
だったので、これが 0 となるのは
ω*L = 1/(ω*C)
の場合、つまり
C = 1/(L*ω^2)
のときです。f を周波数、πを円周率とすれば、ω = 2*π*f なので
C = 1/(4*π^2*f^2*L)
となります。これが一方の解です。

Cの値だけ調整し て|P| が最大となるのはこの式から計算すればいいです。Ｒの値が何であっても、C = 1/(4*π^2*f^2*L) のときに |P| は最大になります。f = 50 Hz、L = 0.05 H からC= 50.6 μF となります。

一方、C と R の値を変えたときに |P| を最大にする条件のうち、C の値は上と同じです。つまり X = 0 のときです。X =0 のとき
|P| = R*E^2/( R1 + R + j*X )^2
= R*E^2/( R1 + R )^2
なので、これが最小となる R の値を求めれば、その R がもう一方の解になります。

|P| が最小になるとき、|P| を R で微分したものが0となります。|P| の右辺は分子にも分母にもRがある分数の形をしていますが、商の微分公式を忘れてしまっても、積の微|P| = R*E^2/( R1 + R )^2 = E^2*R*( R1 + R )^(-2)
と積の形で表わせば
dP/dR = E^2*{ ( R1 + R )^(-2) - R*2*( R1 + R )^(-3) }
= E^2*( R1 + R - 2*R )/( R1 + R )^3
= E^2*( R1 - R )/( R1 + R )^3
となります。これが0となるのはR = R1の場合です。

最初に、X = ω*L - 1/(ω*C) と置きましたが、Xと置かないでωのまま計算して、Pをωで微分すると大変なことになります。

回答No.1

shintaro-2

まず最初に
Rの消費電力を求める式を導いてください。

そうすると、それがｆ＝２πωによって変化することが理解できるはずです。

じゃあ、ｆが幾つの時に最大値となるかというと
後は微分して考えることになります。

電池に接続した負荷の最大消費電力という観点で
高校の物理で学んでいるはずです。