積分の仕方がわかりません。

質問

∫dx/(5+4cosx)の解き方がわかりません。
cosx=tとして、変換を行いましたが、計算できませんでした。
部分積分をしようするのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

torahuzuku · ベストアンサー

お早うございます。

tanx/2=tとおくと、(1/2)*sec^2(x/2)=dt
∴dx=2dt/(1+t^2)　そしてcosxを三角法の公式を用いて、tを使った式に表せれば出来るように思いますが。

その先は頑張ってやってみて下さい。

回答No.3

debut

スタートは、No1の方がおっしゃる通りです。

そして、倍角の公式から　cosx=2cos^2(x/2)-1になることと
　　　　cos とtan の関係式である　cos^2(x/2)=1/{1+tan^2(x/2)}　から
　　　　cosx=(1-t^2)/(1+t^2)　および　dx=2/(1+t^2)dt　が求められます。

これらを与式に代入して整理すると
　　　　∫2/(9+t^2)dt　が得られます。

次に、t=3tanθ　（dt=3/cos^2θ＊dθ）と置いて　1+tan^2θ=1/cos^2θ　など
を考慮しながら
計算を進めると、式はθについての非常に簡単な積分になります。

最後にθを、t=3tanθ　の式から　θ=tan[-1]t/3=tan[-1]{1/3＊tan(x/2)} に戻せばできあがります。
ただし、ここの[-1]は数学で使用している逆関数を表す添え字です。

回答No.2

torahuzuku

No1です。すみません。
(1/2)*sec^2(x/2)=dt→(1/2)*sec^2(x/2)dx=dt の間違いです。