平均値の定理を用いた極限値の解法

質問

平均値の定理を用いて極限値を求める問題で
(1)lim(x→+0)(e^x-e^tanx)/(x-tanx)
(2)lim(x→0)(sinx-sinx^2)/(x-x^2)
という問題があるのですが、
(1)では解答の冒頭で
「x→+0であるから、0<x<π/2としてよい。」
とあり、(2)でも
「x>0のとき、x→+0であるから、0<x<1としてよい。」
とあります。
これがどうして成り立つのか分かりません。
特に(2)で「x→+0であるから」とありますが、問題では
x→0となっています。ここに違いがあるのですがそれも良く分かりません。
ご教授お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
(e^x-e^tanx)/(x-tanx)という関数がx→+0のときにどうなるかが問題ですからxが0に近いときだけを考えましょう，と言っているに過ぎません。「0<x<π/2が成り立つ」と「0<x<π/2のときを考える」は違います。この問題の場合には，どうせxを0に近づけるのだから，xが0から遠いところでどうなっていても気にしません。
(2)
問題ではx→0となっていますが，「x>0のとき」に「0<x<1としてよい」と言っていますよね。当然，x<0のときはあとで考えるのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

0<x<π/2が成り立つのではなく0<x<π/2として考えるのですね。
とてもよくわかりました。
ありがとうございます。