酔っぱらいの最終位置・・・

質問

確率論の話だと思いますが・・・

今、ある酔っぱらいが一人います。多分、彼は
歩けなくなるまでアルコールを摂取しておらず、
サラリーマン早調べクイズに出て何とか回答が出来る
程度だと思います。

さて本題ですが、この酔っぱらいがx軸上をn回歩くと
します。一回の徒歩の距離は同じとします。彼が
n回の内、＋方向へ歩いた回数をn+、－方向に歩いた
回数をn-とすると（もちろんランダムに）、
n回歩いた後、ｍという位置にいる場合の数は
次式で表されます。

Ｗ＝ｎ！／ｎ＋！＊ｎ－！（Ｗ：場合の数）

この式が納得いきません。。。
なんとなくはわかります。なんとなくは。
分母は重複部分をキャンセルするためだと思いますが
その導出過程がわかりません。
これは統計力学の中の「酔歩」の話ですが、
全く持ってその概念の理解にはエネルギーが入ります。

どなたか詳しい解説をお願いできないでしょうか？
また、よろしければ統計力学の勉強法についても
御教授いただければ有り難いです・・・

回答No.2

vmlinuz · ベストアンサー

あ、もしかしてなぜ nCr が n!/(r! (n-r!)) になるか、という質問ですね。すいません。(しかも「場合の数」と書くべきところが「確率」になってる、、、。)

まず n 回の行動が全部違う種類のものだとして、こいつらを一列に並べるとき並べ方は n! 通りになります。ところは今は考えるべき行動の種類は「右」「左」の2通りしかありません。したがって、もし「右」という行動が m 回あればこの m 個を区別して考える必要はないので n! では数えすぎになっています。行動を一列に並べてみて「左」という行動を消していけば、m 個の「右」だけが残るのですが、これの並べ方が m! 通りあって、すべてを違うものだと認識して計算しているということになるので、n! という計算を m! で割ってやればこの重複を帳消しにすることができます。同様に「左」の部分も n-m 個を別々に数えていることになっているので(n-m)! で割ってやる必要があります。だから n!/(m! (n-m)!) という計算になるのです。

慌てて書いたので訳分からないかも知れませんが、自己フォローです。

お礼

遅くなってすみません。回答ありがとうございます。

おかげさまで、何とか納得することができました。
組み合わせの記号の意味は知っていましたが、丁寧に
説明してくださったことには大変感謝しております。

その後、いろんな参考書を見たりして同じような問題が
いくつもあることを知り、より理解を深めることができま
した。

組み合わせって考えてみると凄く面白いものですね。
それでは、本当にありがとうございました！
また何かありましたらよろしくお願いします。

回答No.3

stomachman

(1) 使っている記号の数が多すぎるのが混乱の原因かも。mの位置に来るためには

(n+)-(n-) = m

でなくてはならず、歩いた回数は

n = (n+)+(n-)

ということです。逆に言えば

(n+) = (n+m)/2、(n-) = (n-m)/2

ですよね。これでnとmは忘れることにしましょう。

(2) {(n+)+(n-)}個のマス目を一列に並べて書いて、歩くたびにどっちに行くかをマス目に一つずつ記録とすると、(n+)個の「+」と(n-)個の「-」が並んでいる筈です。

(3) さて、それで {(n+)+(n-)}のマス目に+と-をそれぞれ(n+)個,(n-)個並べるやり方が何通りあるか。これが求めたい場合の数Wです。

(4) {(n+)+(n-)}個のマス目の中から(n+)個を選んで「+」を書き込めば、残りは全部「-」と決まります。だから、「{(n+)+(n-)}個のマス目の中から(n+)個を選ぶやりかたが何通りあるか」という問題に帰着する。
それで、答は

W={(n+)+(n-)}C(n+) = {(n+)+(n-)}!/{(n+)! (n-)!}

ということになる。

(5) もちろん「-」を書くマス目を先に選んでも同じ事です。この場合、

W={(n+)+(n-)}C(n-) = {(n+)+(n-)}!/{(n+)! (n-)!}

です。答が一致するのはあたりまえですね。

(6) なんで pCq = p! / (q! (p-q)!)になるか、というのについては既に回答があるようです。

関連問題：pCqが整数になる（つまり右辺のわり算が割り切れる）というのは自明ではありません。pCqに関する漸化式を使わないでこれを直接証明するのは、なかなか力のいる練習問題です。

お礼

遅くなってすみません。
回答ありがとうございます。

問題は同じですが、特にnとmといった記号を導入されて
問題を整理するテクニックに興味を持ちました。

よく数学の計算などで、たとえばxといったところを
(x-1)+1のように書いてやることで、驚くほど問題が
簡単になったりすることがありますよね。
僕は数学は専門ではないのですが、私的にこのことを
「式をだます」と命名しております。
そして、やはりこういうことが数学の面白さだとも
自分では思っております。

少し横道にそれしまいましたが、おかげさまで
より理解を深める事ができました。
本当にありがとうございました！

回答No.1

vmlinuz

これは組み合わせの問題です。
おっさんが n 回歩いた中で、その1回1回の動きがすべて独立だと仮定すれば、その n 回の中から m 回は右に歩き、(n-m) 回は左に歩いたと考えれば、n 歩の中から m 歩の「右に歩く」という行動を選ぶ、つまり n 個の中から m 個を選ぶ組み合わせになりますので、高校数学の書き方をすればこの確率は nCm というように書け、これを階乗の形で書けば n!/(m! (n-m!) になります。

ちなみに m 回右に歩き、 n-m 回左に歩いたとすれば、n 回歩いたあとの位置は 2m-n です。
k=2m-n と置いてこれを m=(n+k)/2 とおけば n 回歩いたあとに k という位置にいる確率は
n!/((n+k)/2)! ((n-k)/2)! というふうになります。(もちろん (n+k)/2 が整数でない場合はその確率は 0 です。)

勉強の方法ですが、このような基本的な確率論を勉強するのなら、私は東大の伏見正則先生が書かれた「確率と確率過程」という本 (講談社) がいいかと思います。この問題を「統計力学」と捉えていらっしゃるところを見ると、専門は物理か何かですか？ 統計力学に関してはあまり良く知らないのでお答えできません。すいません。

お礼

すいません、こちらの方に・・・

僕の専門は一応化学ということになっております。
まだ学生の身分ですが(^^;)

ですが統計力学は何故か極めたくてしょうがないのです。
ただ、自分では少なくとも大学教養程度の数学の
知識はあるつもりなんですが、いかんせん数式が理解できないという大きな壁にぶち当たっております・・・