平方数

質問

N=x^(2m)+x^(2m-1)+…+x+1, m=1, 2, …平方数でない事を示す方法はないでしょうか？xは自然数ですが、xにどんな条件が必要かも知りたいです。

m=1, 2の時は、(m次式)^2と(m次式+1)^2で挟みこんで、√(N)が整数値にならないことは示せましたが、一般の場合はうまくいきませんでしたので、どなたか分かれば教えてください。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

ちょっと発想を変えて考えてみました。

１）ｘ＝１のとき
Ｎは（２ｍ＋１）個だけ１を足し合わせたものだからN=2m+1で、mをm≧１の自然数とすれば３以上のすべての奇数を表わします。したがって1以外の奇数の平方数9,25,49…をすべて表すことができます。

２）ｘ≧２のとき
Ｎはｘ進法で各桁の数値がすべて１である2m+1桁の数（レピュニット数）を表わします。
例えばｘ＝２でｍ＝2ならN=1*2^4+1*2^3+1*2^2+1*2^1+1*1=11111［2進法］です。
ｘ＝２のときはｍの値にかかわらず平方数にはなりません。2進法で2桁以下の整数で2乗して末尾が11[2進法]となる数はないからです。

一方ｘ＝３のときは3進法で2桁以下の整数で2乗して末尾が11となるのは02^2=11,21^2=1211[3進法]があり、実際に11111=102^2 [3進法]です。10進法では3^4+3^3+3^2+3^1+1=121=11^2（問題ではm=2の場合）

またｘ＝７のとき、1111=26^2［7進法］です。10進法では7^3+7^2+7+1=400=20^2ですが、2m（偶数乗）までという題意には反しますね。

さらにx=10のときは10進法での（通常の）レピュニット数で、これが平方数にならないことは100を法として11と合同な平方数がないことから明らかです。（m=0を認めればＮ＝１ですがこれは論外でしょう。）

なおレピュニット数に関する下記のウィキペディアの解説によれば、ｘ≦100の場合に累乗数となるのは上記の２例のほか、18^2+18+1=343=7^3 だけだそうです。Ｎが平方数になる場合は極めて少なそうですが、反例がある以上「平方数でないこと」を証明することはできず、「どの場合にならないか」をまとめて証明するのも容易ではなさそうです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%8B%E3%83%83%E3%83%88

回答No.3

上野 尚人（@uenotakato）

xを正の整数とします。
Nは平方数になることもありますが、その規則性までは分かりませんでした。

x = 1 のとき
N = 2m+1 となるため、2m+1が平方数になるときはNも平方数になります。

x = 2 のとき
N = 2^(2m+1) - 1 となり、2^(2m+1) は4の倍数なのでNは4で割って3余る整数となりますが、このような平方数は存在しません。

x = 3 のとき
m = 4 とすると
N = 81 + 27 + 9 + 1 = 11^2 という平方数になります。
他のmについて一般的に平方数かどうかまでは分かりませんでした。

隣接する2個の整数の平方ではさむ、という方針はうまくいきませんでした。
示すのなら剰余類を用いることになるかと思います。
助力になりましたら幸いです。

回答No.2

dedypraja

一般的に、このような数 N=x^(2m)+x^(2m-1)+...+x+1 が平方数でないことを示す方法があります。

まず、x が偶数の場合を考えます。このとき、N のすべての項が奇数になるため、N は奇数になります。しかし、奇数の平方数は 4n+1 の形をしており、N が平方数であるためには 4n+1 の形をしている必要があります。つまり、N が平方数であるためには、x は奇数である必要があります。

次に、x が奇数の場合を考えます。このとき、N を因数分解することで、以下のように書くことができます。

N = (x^m + 1)^2 - x^(2m)

ここで、右辺の第1項を a とおくと、

a = x^m + 1

となります。また、x^(2m) は a の平方よりも大きいため、N は a の平方と x^(2m) の間に位置することがわかります。つまり、以下のように書けます。

(a+1)^2 > N > a^2

ここで、a が平方数である場合を考えます。a が平方数であるということは、ある自然数 b が存在して、a = b^2 - 1 と書けます。このとき、

a^2 = (b^2 - 1)^2 = b^4 - 2b^2 + 1

となります。これと、(a+1)^2 > N > a^2 を比較すると、以下の不等式が導かれます。

b^4 - 2b^2 + 1 > N > b^4 - 2b^2 - 2b

この不等式の左辺と右辺をそれぞれ b^4 - 2b^2 で置き換えると、

1 > N - b^4 + 2b^2 > -2b

となります。左辺は 1 よりも大きいため、N は平方数になりません。したがって、N が平方数でないことが示されました。

したがって、x が奇数であれば、どのような m についても N=x^(2m)+x^(2m-1)+…+x+1 は平方数になりません。

回答No.1

f272

例えばm=4，x=1のときN=9で平方数になります。