置換積分

質問

∫(x-1)√(2-x^2)dx=∫x√(2-x^2)dx-∫√(2-x^2)dx
として、ここから前後の積分は2つとも(2-x^2)=tと置いて積分すれば解けるのでしょうか？

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>ここから前後の積分は2つとも(2-x^2)=tと置いて積分すれば解けるのでしょうか？
前の方の積分は合成関数の積分の形なので、そのまま積分できます。置換しないこと。
∫x√(2-x^2)dx＝-(1/2)∫(2-x^2)'*(2-x^2)^(1/2)dx
＝-(1/2)(2/3)(2-x^2)^(3/2) +C

2項目は
∫√(2-x^2)dx＝∫[(2-x^2)/√(2-x^2) dx
＝∫1/√(2-x^2)dx+∫(1-x^2)/√(2-x^2) dx
と分割してから積分するといいかと思います。
前の項は x=(√2)sin(t)と置換すると良いでしょう。
　→　arcsin(x/√2)
後の項は　(x/2)√(2-x^2)
となりますね。

解法は一通りだけではないので色々やってみてください。

お礼

時間かかりましたが、何とか解くことができました。
すごくややこしい問題ですね^^;
本当にありがとうございました。

回答No.2

proto

√(2-x^2) = √((√2)+x)((√2)-x)) = ((√2)+x))*√((√2)-x)/((√2)+x))
と変形してから、
　　t = √((√2)-x)/((√2)+x))
と置いてみてください。

お礼

やってみます。