数IIの計算問題。

質問

式の立て方までは理解できたのですが、その先の計算のとき方がわからないので教えてください。お願いします。。

√の中はいずれも「61－4 k 」です。
定数kの値を求めよ。
｜2－√61－4 k | ≦ 5 ≦　2 ＋√61－4 k
ここで、2－√61－4 k ≦ 5 は明らかに成り立つから、
　√61－4 k －2 ≦ 5 としてよい。と、解説には書いてあるのですが、どうして明らかに成り立つのか。そして明らかに成り立つなら何故このようにしてよいのかが分かりません。あと、絶対値はどうしてはずれているのでしょうか？？それと、この続きに、
　　　√61－4 k －2 ≦ 5 ≦ 2+√61－4 k
したがって、　　　3 ≦　√61－4 k 　≦　7
とあるのですが、何故いきなり　3 ≦　√61－4 k 　≦　7　となるのかが分かりません。分かる人、どうかよろしくお願いします。

回答No.4

noname#72492 · ベストアンサー

*「2－√61－4 k ≦ 5 」は明らかに成り立つから、「√61－4 k －2 ≦ 5」 としてよい、というところの説明が不足してました。
｜2－√61－4 k | ≦ 5 から求められた「-5≦2－√61－4 k≦ 5」式の左側「-5≦2－√61－4 k」の両辺に「-1」をかければ「61－4 k －2 ≦ 5」が求まります。

イメージとしては数直線上の「-5」と「5」の間をウロウロする「2－√61－4 k 」が正の値であれば「-1」をかけた「√61－4 k －2 」は負の値となり、「61－4 k －2 ≦ 5」は明らかですよね。
「2－√61－4 k 」が負の値であっても「-5≦2－√61－4 k≦ 5」式から「2－√61－4 k 」の最小値が「-5」以下にならないことから、「-1」をかけた「√61－4 k －2 」が「5」より大きくなることはない、つまり「√61－4 k －2 ≦ 5」が成立することになります。
ややこしいですが、わかってしまえばなんのことはない自転車の乗り方みたいな・・・？？？

お礼

両辺に－1 をかけるんですね!!
わかりやすい回答ありがとうございます。9月のはじめにテストがあるんですが、これでもうこの問題はバッチリです。本当にどうもありがとうございました。

回答No.3

sunasearch

No.1の方もおっしゃられてますが、
|x|≦5の場合、
絶対値が５より小さいということは、
xは-5から5の範囲にあるということはわかりますか？

つまり、-5≦x≦5になります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E5%80%A4

ですから、正確に書けば、元の式は、

-5 ≦ 2－√61－4 k ≦ 5 ≦　2 ＋√61－4 k

となるべきところですが、
左端の部分は、省略したということでしょう。

お礼

絶対値についてのHPの紹介までありがとうございます。
これでこの問題がテストにでてもバッチリです!!
本当にどうもありがとうございました。

回答No.2

sunasearch

>どうして明らかに成り立つのか。

√の式は正になるので、
√(61－4 k )≧0

２から正のものを引いたら、２より大きくなる事はないので、それより大きい５より大きくなる事もない、
ということから、明らか。

＞√61－4 k －2 ≦ 5 ≦ 2+√61－4 k

これを２つずつに分けて，

√61－4 k －2 ≦ 5
5 ≦ 2+√61－4 k

の両方を整理すると、

√61－4 k 　≦　7
3 ≦　√61－4 k

になります。

補足

回答ありがとうございます。とても分かりやすかったので、2－√61－4 k ≦ 5 が明らかに成り立つ理由、分かりました。
まだわからないのが、明らかに成り立つなら何故、√61－4 k －2 ≦ 5 のようにしてよいのかが分かりません。たぶん絶対値のはずし方がよく分かってないのが原因かとも思うのですが・・・。

√61－4 k －2 ≦ 5 ≦ 2+√61－4 k
したがって、　　　3 ≦　√61－4 k 　≦　7　のところもよく分かりました。ありがとうございます。

回答No.1

noname#72492

「｜2－√61－4 k | ≦ 5」式の絶対値の記号をはずすと、「-5≦2－√61－4 k≦ 5」となり、「2－√61－4 k≦ 5」は成り立ちます。
「√61－4 k －2 ≦ 5 ≦ 2+√61－4 k 」の各項から「√61－4 k －5 」を引けば「3 ≦　√61－4 k 　≦　7」になるはずです。

補足

回答ありがとうございます。
まだわからないのが、明らかに成り立つなら何故、√61－4 k －2 ≦ 5 のようにしてよいのかが分かりません。たぶん絶対値のはずし方がよく分かってないのが原因かとも思うのですが・・・。
この他は理解できました。ありがとうございます。