数学II

質問

教科書を読み込んでもわからないものがあります。解法を教えてください。

kを定数とする。二次方程式x^2+(3k-2)x+4k=0が二つの実数解α、βをもち、α、βは0<α<1<βを満たすものとする。

(2) (β-α)^2をkを用いて表せ。
(3)αとβの差が整数であるときのkおよびα、βの値を求めよ。

一気に質問してすみません。よろしくお願いいたします。

回答No.1

gohtraw

（１）
　（βーα）＾２＝（β＋α）＾２－４αβ
解と係数の関係から　α＋β＝２－３ｋ、αβ＝４ｋ　なので、
（βーα）＾２＝（２－３ｋ）＾２－１６ｋ
　　　　　　　　＝９ｋ＾２－２８ｋ＋４
（２）
ｘ＾２の係数が正なので、ｙ＝ｆ（ｘ）＝x^2+(3k-2)x+4kのグラフは下に凸の放物線であり、
この放物線とｘ軸の交点が（α、０）および（β、０）になる。０<α＜１＜βであるためには
ｆ（０）＞０、ｆ（１）＜０である必要がある（なぜそうなるかは図をかいて考えて下さい）。
よってｋ＞０、ｋ＜１／７となる。・・・（あ）

また、元の二次方程式が二つの実数解をもつので、判別式
（３ｋ－２）＾２－１６ｋ＝９ｋ＾２－２８ｋ＋４＞０　・・・（い）

一方、αとβの差が整数なので、その二乗である９ｋ＾２－２８ｋ＋４は平方数である。よって、
９ｋ＾２－２８ｋ＋４＝０、１、４、９・・・
とそれぞれおいたときに得られるｋの値のうち、（あ）と（い）の両方を満たすものを探せば
宜しいかと。