大学での微積の問題です。（難問）

質問

log[e](y)=e^y*sinx
これのdy/dxをXのみで表していただけますか。
自分を含め、周りの数学のできる人達に聞いても、どうしても右辺がｙのからむ式になってしまいます。
解る方、よろしくお願いします。

回答No.2

tanakarakusamoti · ベストアンサー

いちおgrapesっていうソフトでグラフを描いてみたのですが、＃１の方の仰る通り、dy/dxは少なくとも初等関数の組み合わせでは一様に表せないことがわかりました。というのは、グラフの形が
「ある１つのｘに対応するｙの値が存在するとき、そのｙの値はたった１つに限られる。」
という私たちが昔から親しんできた関数のグラフになっていなかったからです。つまり、１つのｘの値に複数のｙの値が対応しているのです。これではdy/dxを一様に表せません。具体的に式から考えてみましょう。

与式をちょこっとだけ変形すると、

sin(x) = log(y)/e^y

となりますね。
ここで、左辺をｘ→＋０としますと、sin(x)→＋０となるのはわかりますね。
このとき、(右辺)→＋０となるには、

ｙ→１＋０　　または　　ｙ→＋∞

ですね。１つのｘに対し、ただ１つのｙが対応するとき、上のようにｙの条件が複数出てはいけないのです。

＜私の行き着いたところ＞
dy/dxをｘのみで表そうとするとき、ｘの範囲、ｙの範囲よる場合分けが必要になる。もしくは、＃１さんの仰るように、表すことはそもそもできない。

・・・答えられるのはここまでです。すいません。

お礼

ありがとうございました。
参考にさせていただきます。
お礼が遅くなり申し訳ありませんでした。

回答No.1

rabbit_cat

多分、yume224さんが思っているような形（初等関数の組み合わせ）にはできないのではと思いますが。

そうですね。
x = arcsin(log(y)/e^y)
ですので、この関数の逆関数を、
y = f(x)
て書けば、fを使って、xだけで表せます。
というか、そもそも、
log(y)=e^y*sinx
を満たす関数を、y=g(x)って書けば、dy/dx=g'(x)ですが。これじゃだめ？

あるいは、無限級数の形なら、xだけの関数にできると思います。

お礼

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