行列の階数を求める問題

質問

(-2 3 　 a　 1)
(a-1　 1 -3 2)
(-1 a+3 a+1 4)

上記の行列のrankを求めよ。ただし、aは定数とする。

という問題です。
私はrankを求めたいときに使う方法としては、行列式detA=0のときの変数の値で場合分けする方法です。この問題は4*3行列で、行列式が使えません。

普通はじき出し法でやったら、やたらとややこしくなります。

この問題の解き方をご存知の方、ご教授お願いします！

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

>a=4のとき、rank=2
>a≠4のとき、rank=3

OK だと思います。

rank が 2 を下回らないことは、2x2 行列のうち、行 {1, 2} と列 {2, 4} との部分行列、

[ 3　1；
　1　2 ]

がガードしてくれそう。

お礼

そうですね！

ありがとうございました！

回答No.2

178-tall

>まず、行列を(1)左からの3列(2)右から3列 の2種類の3*3行列に分けました。

この例題なら、4 列目を含む三つの 3x3 行列を調べるのが楽らしい。

　零点 a ： {2, 4}, {-2, 4}, {-4, 4}

…じゃありませんか？

お礼

ありがとうございます。

あ、そうですね。
ご指摘のやり方ですと、{2, 4}, {-2, 4}, {-4, 4}になりますね。

でしたら、その共通項a=4をとって

a=4のとき、rank=2
a≠4のとき、rank=3

となりますね。

こんな感じで合ってますかね？

回答No.1

178-tall

>この問題は4*3行列で、行列式が使えません。

4x3 行列のランクは 3 を超えることがないから、3x3 行列の「行列式」非零チェックが使えます。

>普通はじき出し法でやったら、やたらとややこしくなります。

複数個の 3x3 「行列式」の非零チェックを効率的に実施するのも、けっこう煩雑。
使い慣れた手でやるしかない…のでしょうネ。

お礼

早速のご回答、ありがとうございます。

補足

ちなみに、ご指摘の3x3 行列の「行列式」非零チェックという方法でやらせていただきました。

まず、行列を(1)左からの3列(2)右から3列
の2種類の3*3行列に分けました。

それぞれについて非零チェックを行った結果
(1)はdetA=0のときに、a=-1,-2,4
(2)はdetA=0のときに、a=4,-4

その共通項は両方がdetA=0となるものなので、a=4のときの4*3行列もdetA=0となり、そのときに
rank=2.

したがって
a=2のときに、rank=2
a≠2のときに、rank=3

これってあってますかな？あんまり自信がありませんけど