行列の階数について

質問

ある大学の過去問でですが
1　　1　　　1　　　1
1　　a　　　a2　　a3
1　　a2　　a3　　a4
1　　a3　　a4　　a5
（a2はaの2乗です）

の階数を求めよという問題で
a = 0のとき　rankA = 2
a = 1のとき　rankA = 1
はわかるのですが
それ以外のとき　rankA = 3
というのが答えなのですがなぜそうなるのかわかりません。
この問題が解けなくてとても悔しいです。
教えてください。

回答No.1

Ginzang · ベストアンサー

まず、累乗を表すときは"^"を用い、例えば「aの2乗」は"a^2"と表すとよいと、助言させてもらう。

本題であるが、問題の行列の第3行と第4行から、第2行を引いた行列を考える。
するとその行列は、
1　　1　　　1　　　　1
1　　a　　　a^2　　　a^3
0　　a^2-a　a^3-a^2　a^4-a^3
0　　a^3-a　a^4-a^2　a^5-a^3
つまり、
1　　1　　　　　1　　　　　1
1　　a　　　　　a^2　　　　a^3
0　　(a-1)a　　(a-1)a^2　　(a-1)a^3
0　　(a^2-1)a　(a^2-1)a^2　(a^2-1)a^3
となる。
この最後の行列はa=0,1以外では、第1、第2、第3行は一次独立だが、第3行と第4行が平行なベクトルになっているのがわかるだろう。よってこれはランクが3。
故に、元の行列もランクが3であると分かる。

お礼

どうしてrankA = 3になるのか理解することができました！
ありがとうございました。