すべての放物線は相似である。とはどういうことですか？

質問

こんにちは。

「すべての放物線は相似である。」
とはどういうことでしょうか？

詳しく教えてください。
証明付きでも構いません。

よろしくお願いします。

回答No.8

BLUEPIXY · ベストアンサー

>ｙ軸を２倍、ｘ軸を２倍にしても同じグラフにはなりませんでした。
y=ax^2
と
y=x^2
が(＃７で言われるように）相似かどうか調べるのには、＃５で言われるようにすれば良いです。
つまり、
y=x^2上の点（x0,y0)をｋ倍したモノがy=ax^2の点になるかどうか調べれば
良いと言うことです。
y=x^2上の点（x0,y0)は(x0,x0^2)
でそれをｋ倍した点（kx0,ky0)は(kx0,kx0^2)
ここで、ｋ＝１／ａとすると
(kx0,kx0^2)は(x0/a,x0^2/a)ですが
この(x0/a,x0^2/a)は、
a(x0/a)^2=x0^2/a
となって
y=ax^2上の点であることが判ります。
つまり、
y=x^2とy=ax^2が相似であると言えたことになります
既に、＃３で述べた様に全ての放物線は、
y=x^2を平行移動し、係数を変更したもの（y=ax^2にすることに相当する）ですから
全ての放物線が相似であると言えることになります

お礼

数式入りの詳しい説明をどうもありがとうございました。
おかげさまで理解することが出来ました。
どうもありがとうございました。

回答No.9

BLUEPIXY

#3>x^2の係数の値を変えることがなぜ許されるのでしょうか？
係数の値を変えるという意味で書いたのではないです。
こういう形に変形できるという意味です
ax^2+bx+c
=a(x+b/2a)^2-b^2/4a+c

ついでに
#5>1/a倍という操作を加えることが許される根拠は何でしょう…？
つまり、
y=x^2とy=ax^2の相似比がa:1になるということをです。
この操作をした時相似になるというより相似の時この比になるということですね。それぞれの放物線によって相似比がそれぞれ決まりますから、相似比がなんでも相似になるというわけでないことに注意。

#7>なぜ、原点を中心にした拡大縮小なのでしょうか？
y=x^2とy=ax^2は、頂点が原点であり、そこを重ねて見た時
（＃８で言うように）それぞれの点をK倍すると言う場合には、
原点からの距離：ｘ座標，ｙ座標をＫ倍しているということです。

お礼

なるほど！
おかげさまで理解することが出来ました。
どうもありがとうございました。

回答No.7

sunasearch

図形の相似
ユークリッド幾何学において、二つの図形 C と C' が相似であるとは、ユークリッドの運動（平行移動、原点を中心とする鏡映、原点を中心とする回転）および、原点を中心とする拡大・縮小を有限回組合ることにより、C と C' を一致させられることをいう。
おおざっぱには 「縮尺の違いを除いて同じ形」 である事を指す。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E4%BC%BC

つまり、放物線はすべて、
y=a(x-b)^2+cと書けることから、

aの値を変えることは、原点を中心にした拡大縮小、
b,cの値を変えることは、平行移動、
で、これらを組み合わせているので、
すべての放物線は相似。

ちなみに、二次曲線による放物線のほうは、
x軸とｙ軸を入れ替えただけなので、同じこと。

お礼

おかげさまで理解することが出来ました。
どうもありがとうございました。

補足

ありがとうございます。

＞aの値を変えることは、原点を中心にした拡大縮小、

二次関数のグラフにおいて、aの値はいわば、グラフの「開き具合」を示していると思いますが、なぜこれが原点を中心にした拡大縮小なのでしょうか？

ここのところを詳しく教えていただけないでしょうか…？

（※bとｃが平行移動というのは大丈夫です。）

回答No.6

kasabian

同じサイズの方眼紙を２枚用意してください。
１枚は１メモリを１、もう１枚は１メモリを２にしましょう。
最初の１枚にy=2x^2、２枚目にy=x^2のグラフを書いてみましょう。
全く同じ形のグラフになりませんか？

お礼

おかげさまで理解することが出来ました。
どうもありがとうございました。

補足

ありがとうございます。

ｙ軸だけ２倍にしてｘ軸は１倍のままならばそうなりますが、
ｙ軸を２倍、ｘ軸を２倍にしても同じグラフにはなりませんでした。

もし、前者のような操作を許すならば、相似になるのはわかるのですが、
前者のような操作をすることを許し相似になるという操作が許されるのはなぜでしょうか・・・？

回答No.5

rabbit_cat

y=x^2
を縦・横とも1/a倍に拡大（縮小）すると、
y=ax^2
になります。

お礼

おかげさまで理解することが出来ました。
どうもありがとうございました。

補足

ありがとうございます。

1/a倍という操作を加えることが許される根拠は何でしょう…？

もちろん、この操作を加えれば相似になることはわかります。

回答No.4

BLUEPIXY

y=A(x-x0)^2+B
より
y=A(x-x0)^2+y0
の
ほうがいいか

お礼

おかげさまで理解することが出来ました。
どうもありがとうございました。

回答No.3

BLUEPIXY

y=ax^2+bx+c
を
y=A(x-x0)^2+B
と書き直した
とすると頂点の部分を移動して拡大率を変えただけのものであることがわかると思います。

お礼

おかげさまで理解することが出来ました。
どうもありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。勉強になります。

x^2の係数の値を変えることがなぜ許されるのでしょうか？
これをもって相似と言えるのはなぜでしょうか？？

ｘ＾２の係数の値を変化させることにより、放物線同士が相似になると言うのはわかるのですが、この変化させることが許される意味はなんででしょう・・・？これをもって相似と言っているわけで…

回答No.2

Kon1701

うまく説明はできませんが・・・
「すべての放物線は相似である。」
は、言葉の通りです。
放物線と言う形はただひとつです。
これは、全ての円が相似である、全ての正方形が相似である、全ての正三角形が相似である、というのと同じです。

でも、放物線には比較的浅いものもあれば、深い物もあるのでは？　と思われるかもしれませんが、浅いものは、深い放物線の先端部分と同じ形です。

あまり詳しい説明にはなっていませんが、イメージとしてはどうでしょうか？

お礼

おかげさまで理解することが出来ました。
どうもありがとうございました。

補足

ありがとうございます。

イメージではなく、x^2の係数の値の大小によって、「どのように」拡大縮小率を変化させているのか？考え方を教えていただけると助かるのですが…

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

尖っている放物線でも、その頂点付近を拡大して見ると、尖っていない放物線と全く同じになるということです。（もちろん拡大率次第ですが、その拡大率を上手く合わせさえすれば。）

お礼

おかげさまで理解することが出来ました。
どうもありがとうございました。

補足

ありがとうございます。

拡大率の辺りをもう少し詳しく教えていただけると助かるのですが…