この不等式は数学的に正しいでしょうか？

質問

以前、数学の講師をやっていた頃に、次の不等式の書き方は間違っていると指摘されたことがあります。自分的には、数学的に何の間違いもないと思いますし、実際に数学の専門書で記述もされていますし、問題ないと思うのですが、皆さんどう思われますか？ちなみに、今は講師をやっていませんが、その学校では間違いとして指導しているようです。

(x+1)^2≦(x+2)^2
≦x^2+4x+4

その学校では、こう書くように指導しているそうです↓
(x+1)^2≦(x+2)^2
(x+1)^2≦x^2+4x+4
つまり、複数行にまたがる時は、一々左辺と右辺を書かないとダメらしいです。

回答No.5

graphaffine

＞　(x+1)^2≦|x+1|^2
＞　≦(|x|+1)^2
＞　≦2(|x|^2+1^2)
＞　<4
数学的という言い方が、微妙ですが、数学的な記述の方法という意味（この場合は、≦や<を連ねる形式）だったら何の問題も無いです。勿論、逆向きの不等式を
混在させるのは間違いですが、＝を含めることはよくあります。
但し、引用した式は数学的な論理展開上のミスがある（３行目から４行目に移れない)ことは、注意をしておきます。そもそも、「x<1のとき(x+1)^2<4 」は成り立たない。
その学校がどこかわかりませんが、数学的には正しいが、教育上間違いとみなしているということも考えられます。そうかどうかは、その学校に聞かなきゃわかりませんが。
もし、プログラミング関係の学校だとしたら、有り得るかもしれません。
普通のプログラムではＡ≦Ｂ≦Ｃとまとめて書くことはできないので、Ａ≦Ｂ且つＢ≦Ｃのように表現しますから。

補足

すみません。また間違っていましたね。

よく考えていなかったもので、申し訳ない。

回答No.4

Tacosan

えぇと.... とりあえず (x+2)^2 ≦ x^2 + 4x + 4 という不等式そのものは間違っていないですね....＞#3

で, 既に同案多数ですが
(x+1)^2 ≦ (x+2)^2
の右辺を展開して x^2 + 4x + 4 としたのであれば
(x+1)^2 ≦ x^2 + 4x + 4
と, 左辺を再度書いた方がよいでしょうし,
(x+1)^2 ≦ (x+2)^2 と (x+2)^2 ≦ x^2 + 4x + 4 という 2本の不等式をまとめたものであれば
(x+1)^2 ≦ (x+2)^2 ≦ x^2 + 4x + 4 と書くので折り返して
(x+1)^2 ≦ (x+2)^2
≦ x^2 + 4x + 4
と書くんでしょう.

回答No.3

noname#12273

書き方が悪くてすみません。

つまり、
(x+1)^2≦(x+2)^2
≦x^2+4x+4

と下に並べて書くのは、本来は、

(x+1)^2≦(x+2)^2≦x^2+4x+4

と書きたいところをスペースの都合で下に書くという意味なのではないでしょうか？この2つ目の不等式は誤っているので、数学的におかしいのだと思います。
ですので、#2の方の様に

(x+1)^2≦(x+2)^2
=x^2+4x+4

であれば、

(x+1)^2≦(x+2)^2=x^2+4x+4

の意味になり、正しいのではないでしょうか？
あくまで私が思っているだけで正しいかどうかは分かりません。

補足

2つ目の不等式は等号が入っているので間違いではありません。

例に出した式が悪かったと思いますが、数学で本質的に大小関係だけを比較したい時は、一々等号が成り立つかということはそれほど重要ではないのです。

この例に出した式くらいであれば、すぐに等号が成り立つということは分かりますが、そうでなくて、単に右辺の方が左辺より大きいことが分かればよいということであれば、不等号で十分です。

ということを言いたかったのですが、ご理解頂けたでしょうか？
例に出した式が悪かったことはお詫びします。

回答No.2

marochan2

こんにちは

NO.1の方の回答が的を射ているものと思われます。

○○≦△△
　　＝××

と書いていくのが一般的でしょう。

回答No.1

noname#12273

個人的な意見ですが、

(x+1)^2≦(x+2)^2
≦x^2+4x+4

ですと、

(x+1)^2≦(x+2)^2≦x^2+4x+4

の意味になるのでは無いでしょうか？
等式の場合はそれでも問題ありませんが、不等式ですと間違いになりそうです。等式でも例えば右辺だけを計算する場合は、（右辺）＝・・・という記述をしますよね。

正解が楽しみです。

補足

書き方が悪かったかもしれませんが、この式は計算の過程の不等式です。
この不等式を解けという問題ではありません。
例えば、x<1のとき(x+1)^2<4 という不等式を示すのに：

(x+1)^2≦|x+1|^2
≦(|x|+1)^2
≦2(|x|^2+1^2)
<4

という書き方です。