関数と微分可能性

質問

全微分可能なら接平面が存在することの
証明はどうしたらいいんでしょうか？

回答No.2

torahuzuku

3次元空間で、互いに垂直な座標軸をｘ軸、ｙ軸、ｚ軸とします。空間の任意の点Ｐの座標をＰ(x,y,z)とし、Ｐを通ってxy平面に平行な平面上に点Ｍを取りＭ(x+Δx,y+Δｙ,z)と置く。また点Ｍからｘｙ平面に垂直な直線上に点Ｒを取ると、ＲはＲ(x+Δｘ,y+Δy,z+MR)と表せる。

関数z=F(x,y)の全微分が存在すると、その全微分は
　dz=Fx(x,y)Δx+Fy(x,y)Δy と表せる。
いま MR=dz と置き、また
　x+Δx=X
　y+Δy=Y　 　〉→(A)と置くと
　z+MR=Z　　
上式は、
　dz=MR=Fx(x,y)Δx+Fy(x,y)Δy　と書ける。
この式は
　z+MR-z=Fx(x,y)Δx+Fy(x,y)Δy と変形でき、ここで(A)を用いると、
　Z-z=Fx(x,y)Δx+Fy(x,y)Δy
　　　=Fx(x,y)(X-x)+Fy(x,y)(Y-y)
　　　=∂F(X-x)/∂x+∂F(Y-y)/∂y となり、
この式は点Ｐ(x,y,z)に於ける接平面を表す。
以上、証明終わり。

回答No.1

yumisamisiidesu

y=f(x1,…,xn)という多変数実数値関数の接空間の定義は
f'(a)(x-a)+b　(x,a,b∈R^n)であることから
全微分可能と接空間が存在するが同値であるということが
明らかだと思います