物理的な約束？

質問

こんにちわ。とある大学の大学生です。化学系の学生です。

だんだん科目が専門的になってきまして、それはそれで
楽しいのですが、最近になって問題が発生しました。

例えば統計力学のこんな記述。
「速度がｖとｖ＋ｄｖの間にあるような分子の数がｆ（ｖｘ、ｖｙ、ｖｚ）ｄｖｘｄｖｙｄｖｚで
与えられたとする。」

例えば量子化学のこんな記述。
「放射の波長がλとλ＋ｄλの間にあるような振動子の数をＮλｄλとする。」

全くわかりません。。。
何でｄλやｄｖｘなんかを掛ける必要があるのでしょうか？そんな面倒くさいことをしないでも、
単にｆ（～）とかＮλとした方がはるかに直感的にわかりやすいと思うのですが。

これは物理的にそうしなければならないというお約束みたいなものなのでしょうか？
それとも後で積分をしやすい形だから無理矢理そうしたとか？

ここ何ヶ月このことでずっと悩んでいます。どんな本を読んでもこれこれそういう理由で
この形にした、とは全く書いてありません。

最近では、本を書いた人もわかっていないのでは？
などと失礼なことを思うようになりました。
どなたか、この疑問に対する答えを教えて下さい。お願いします。

回答No.1

ryumu · ベストアンサー

こんにちは。田舎の大学で蛋白質の研究をしている大学院生です。専門外ですが、参考になれば幸いです。

まず、ｆ（ｖｘ、・・）やＮλの部分の意味ですが、これは対象物の確率、密度あるいは分布を表しています。

一般的に、［０（または-∞）、ｘ］の全範囲における対象物の総数をＧ（ｘ）と表すと、［０（または-∞）、ｘ＋ｄｘ］ではＧ（ｘ＋ｄｘ）となりますね。ここで、微少区間［ｘ、ｘ＋ｄｘ］における対象物の総数は、

Ｇ（ｘ＋ｄｘ）-Ｇ（ｘ）

となり、これをｄｘで割ったものが密度になります。
一方、Ｇ’（ｘ）＝ｇ（ｘ）と定義すると、微分の定義とｄＧ＝Ｇ（ｘ＋ｄｘ）-Ｇ（ｘ）から、

Ｇ（ｘ＋ｄｘ）-Ｇ（ｘ）＝ｇ（ｘ）ｄｘ

となり、ｇ（ｘ）が密度に相当することがわかります。
当然、ｇ（ｘ）ｄｘは［ｘ、ｘ＋ｄｘ］における対象物の総数ということになりますね。

このように密度をあらわに出す理由はいろいろあると思いますが、やはり我々が扱っている現象が有限領域であるということ、また、たとえば原子における電子分布のように、密度が重要な知見を与えるからだと思います。

以上、参考になったでしょうか？？

お礼

返事が遅くなって申し訳有りません。
タンパク質ですか・・・私も別の学校で制限酵素地図
なんかを作成したことがあります(^^)

なるほど、g(x)が密度になるのはこういうこと
だったのですね。やはり微分が裏で糸を
引いていたのですか(笑)

大変わかりやすい説明、有難うございました。
これからも何かありましたらよろしくお願いします！

回答No.2

sanekazura

統計力学はちょいと苦手なもんで、良い解答かどうか…。

まず、とくに量子力学的な空間においては
速度がvの粒子はいくつである、ということはいえません。
平均的なことはいえますが。
不確定性原理というやつです。

というよりはむしろ、全体での系を考える時に
積分しますよね。
そのときにやりやすいようにってのはどうでしょう。

dv とかdλってのがついていたほうが積分しやすいですよね。

って全然違うかも。

お礼

返事が遅れてしまい、すいませんです。

統計力学、難しいですよね。私も現在困ってます(^^;)
何と言うか、概念が物凄～くつかみづらいというか・・・
勿論数式も難しいのですが・・・実は統計力学をやる
以前に数学と物理の基礎知識がまだ足りないのかも知れません。
これからも精進です。

今回の問題についてですが、おかげさまで解決しました。
微分と積分がうまくからみあった結果がこのような表現になるのだと
私は理解しました。もう少し統計力学を頑張ってみたいと思います。

それでは回答有難うございました！
また何かありましたらよろしくお願いしますね。