空間の体積

質問

x^2+y^2+z^2≦9 かつx+y+z≧３
を満たす体積を求めよ。

という問題なんですが、どぅも空間の様子が頭に浮かばず、問題が解けません。アドバイスお願いします。

回答No.3

springside · ベストアンサー

この問題であれば、一旦空間座標系から離れて、図形的に考えるといいです。

球x^2+y^2+z^2=9の中心(0,0,0)と平面x+y+z-3=0との距離は√3なので（公式利用）、この問題を言い換えると、

半径3の球があり、その球を中心から√3の距離にある平面で切ったときにできる２つの立体のうち、小さい方の体積を求めよ。

ということになります。
ということは、さらにこういうふうに言い換えられますね。（絵を描いてください）

xy平面上の円x^2+y^2=9と直線x=√3があるとき、この円と直線で囲まれた部分のうち、√3≦xの部分をx軸のまわりに回転させてできる図形の体積を求めよ。

ということは、体積Vは、

V=∫[√3→3]π(9-x^2)dx

となります。あとは、x=3cosθと置換すれば解けます。
（その置換積分の過程で、cosα=√3/3、sinα=√6/3を満たす角度αを利用する。）

答えは、π(72-32√3)/4になりました。（検算してないのでちょっと自信なし）

お礼

なるほど、そぅいうことですね。
ありがとうございました！！

回答No.5

ishun_xeno

うまくいけば、空間の様子が分からなくてもできるのですが。
z を定数と思って、xy平面上で
　　x^2+y^2≦9-z^2
　　x+y≧3-z
が満たす領域の面積を S(z) とします。
x^2+y^2=9-z^2 と x+y=3-z の交点が存在する z の範囲を求めると -1≦z≦3 なので、
　　∫_{-1}^3 S(z) dz
が求める体積です。

しかし S(z) を求めるのが大変で、挫折してしまいました。(>_<) この方法でできた人がいたら、私も教えて欲しい！

お礼

この方法への解放を待ってたのですが、締め切らせていただきました。
理論的には納得できるんですが、やはりＳ(z)が・・・（笑）
ホント誰か解いてください！ishunさんのために（ハート）

回答No.4

springside

No.3です。

約分を忘れてました。
最後の答えは、(18-8√3)πになりますね。

回答No.2

sunasearch

＞描いてみたんですが、そこからどーやったら体積が出せるんでしょう？

図形を適当に移動させて、回転体の積分で計算してください。

回答No.1

sunasearch

x^2+y^2+z^2≦9
原点中心　半径３の球の内部

x+y+z≧３
３点（3,0,0）(0,3,0),(0,0,3)を通る平面の上方

で図を描いてみてください。

補足

描いてみたんですが、そこからどーやったら体積が出せるんでしょう？
単純に球から３点と原点で結ばれた部分の体積を引いてもでない気がするんですが、何か方法はあるんでしょうか？