積分による体積の求め方

質問

V＝｛(x,y,z);x^2+y^2+z^2≦1,z≧0｝の体積の求め方が∫π(1-z^2)dｚとなるのがよくわからないです。よろしくおねがいします。

回答No.3

Hercules · ベストアンサー

No.1です。

済みません、一部訂正です。
「z軸に平行な ー> z軸に垂直な」でした。

で、z軸に垂直な球の断面の円の径をrとします。また立体は球ですので、原点から球面までの長さは1です。

球の半径、断面の円の半径、z軸で作られる三角形は直角三角形です。これは断面の円はz軸と垂直であることから自明。

で、以上をピタゴラスの定理に当てはめると
z^2 + r^2 = 1
ですから、
r^2 = 1 - z^2
となります。

z軸を縦に、xy平面を横に書いて円を書いてみればわかると思いますよ。

お礼

わかりました。ありがとうございます。

回答No.2

BLUEPIXY

円柱{底面積(πｒ^2)かける高さ(Δｚ)の}総和です。

回答No.1

Hercules

求めるべき立体は半径が１の球を半分にしたものだということは良いですか？

で、z軸に平行な球の断面の円の面積を0≦z≦1について積分すれば求める立体の体積ですよね。

さて、z軸に平行な球の断面の円の面積は、円の半径をrとすれば　πr^2　です。　1-z^2　はピタゴラスの定理...

ヒントになりましたか？

補足

ピタゴラスの定理から1-z^2が出てくるのがいまいちわからないのでそこのところを詳しく解説していただけませんか？