なぜこの答えになるのかわかりません・・

質問

地上73.5メートルの屋上から水平方向に対して30度上方に初速19.6ｍ/ｓで小球を投げ上げた時、水平方向の距離で一番近いのはどれか？ただし、重力加速度は9.8ｍ/ｓ2とする。

という問題があり、答えには
地上に到達する時間を求めるには、-73.5＝19.6ｔ-1/2×9.8ｔ2（ｔの二乗）をとくこと。水平方向の到達距離は初速度の水平方向の成分に求めた時間をかければよい。したがって、次の式から答えが求められる
19.6cos30×5.0

とありました。

中学生以来物理をしていない私には、まったくこの答えの意味がわかりませんでした。
-73.5＝19.6ｔ-1/2×9.8ｔ2（ｔの二乗）
は公式なのかなと思い、これを覚えようと思っていたのですが、そうすると
19.6cos30×5.0
はなんなのか、また水平方向の成分とは？？と、わからなくなり、さらにこの×5.0はどこからきているのかなと、この答えにもものすごく疑問がわいてしまいました。
一体、こういった問題の場合、どんな公式を覚え、どうやってとけばいいのでしょうか？？教科書も何もない私に、わかりやすく教えてください（＞－＜）

回答No.6

Ta595 · ベストアンサー

こんにちは。たぶん前にもお会いしていますね(^^
かなりのところまで進まれたようで。
レポートの答えを求めていらっしゃるのでないのは知っていますので，ずばりお答えします。
今回は大変なボリュームになりますよ(^^

まず，最低限知らないといけないのは，

・三角関数
・運動を成分に分ける（この問題の場合は水平成分と鉛直成分）という考え方
・等加速度運動とその関連公式
・二次式の因数分解，二次方程式の解法

です。
中学数学と高校物理の一番はじめのあたりで学ぶ項目だったと思いますので，それほど難しくはないと思うのですが，やはり教科書かそれに類する参考書がないと理解は難しいと思います。何かの問題集はお持ちのようですが，どうもあまり解説が詳しくないようですので，合わせて教科書ないし参考書の購入を強くお勧めします。

とは言え。
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回答の導き方は他の方がやっておられますので，完全にだぶりますが，私なりにもう一度説明しますね。前回のように簡単にはいきませんが(^^;。

まず下準備として，小球の運動を水平成分と鉛直成分に分解します。
30°上方に向けて投げた小球の運動を水平方向と鉛直方向に分解すると，
・水平成分：速さ19.6×cos30°[m/s]の等速運動
・鉛直成分：初速「上向き」19.6×sin30°[m/s]，加速度「下向き」9.8[m/s^2]の等加速度運動

です。ここが理解できないと先には進めません（分解の考え方は三角関数が分かるならば理解できると思います）。

しかし，今はともかく先に進みましょう。答えを導く手順は，

(1)鉛直方向の小球の運動をもとに，投げた小球が地面に落ちるまでの時間を求める
(2)その時間に，小球が水平方向にどのくらい進むかを求める

です。

(1)小球が地面に到達する時間
まず，投下速度運動する物体の移動量をあらわす「公式」
　x=v0・t+1/2・a・t^2
　（x：移動量[m]，v0：初速[m/s]，t：時間[s]，a：加速度[m/s^2]）
これは運動方程式（F=ma）から公式に頼らず導くこともできますが，覚えた方がよいでしょう。

この公式をもとに，初速が「上向き」に19.6×cos30°=9.8[m/s]，加速度は「下向き」9.8[m/s^2]（これは重力加速度のことです），移動量「下向き」に73.5[m]として公式に当てはめると，
　-73.5=9.8t-0.5×9.8×t^2 (i)
です
＊符号のプラスマイナスは，私が「」で囲んだ運動の向きを考えれば理解できると思います。私は「上向き」をプラスとして式を作っています。
＊他の方ご指摘の通り，質問にある式は間違っています。

ここからは数学の問題（二次式の因数分解と二次方程式の解法）。
(i)式を変形すると，t^2-2t+15=0 ⇒ (t+3)(t-5)=0
　　解は，t=-3, 5 [s]，物理的には負の値は意味がないので，(1)の答えは5[s]
すなわち，

・小球が地面に到達するのは，投げてから5秒後

(2)5秒間に小球が水平方向にどれだけ進むか
準備のところで言ったように，小球の水平方向の運動は，
・速さ19.6×cos30°[m/s]=の等速運動
なので，5秒間に進む距離は，
　19.6×cos30°[m/s]×5[s]
であらわすことになります。
ご質問の「5.0」は，小球が地面に到達するまでの時間です。

---
ご参考になるとよいのですが・・・。
いずれにせよ，ここから先はなんらかの参考書がないと非常に厳しいですよ。高校生向けの初級のものがよいと思います（具体的にはあげられませんが，書店にいけばきっとたくさんあるでしょう）。

では，健闘を祈ります！

お礼

本当にいつもわかりやすく教えてくださってありがとうございます（＞－＜）皆様のおっしゃるとおり、やはりわかりやすい参考書を購入するべきですね・・・一応通信教育の参考書を友人にいただいたのですが、まったく物理に触れた事のない私には、それすら理解することが困難で・・・一体どこが出るのかもわからない試験なので、模擬テストのような形の問題集を使い広い範囲の勉強をしているのですが（；－；）なのでこのように基礎をまったくわかっておらず、迷惑をおかけしてすみません。その試験が終われば、しばらく時間があるので、その時に自分にあった参考書を探しに行きます☆いろいろありがとうございました☆

回答No.7

Ta595

#6です。記載ミスをしてしまいました。
中央やや下よりくらいです。

誤：(i)式を変形すると，t^2-2t+15=0 ⇒ (t+3)(t-5)=0
正：(i)式を変形すると，t^2-2t-15=0 ⇒ (t+3)(t-5)=0

申し訳ありませんでした。

お礼

こちらこそ、わざわざありがとうございます☆

回答No.5

endlessriver

＜わかりやすく教えてください
・ちょっと困難です。

＜-73.5＝19.6ｔ-1/2×9.8ｔ2（ｔの二乗）は公式なのかなと思い
・以下の運動方程式（微分方程式）を解いたものですが汎用的なので公式と言ってもよいかも。
＜中学生以来物理をしていない私には
・残念ながら微積分の知識がないと理解は困難です。
＜また水平方向の成分とは？？
・ベクトルの概念がないと理解が困難です。
＜教科書も何もない私に、わかりやすく教えてください
・どのようなかたかわからないのですが図書館で教科書借りて勉強することをお勧めします。

一応、以下に解法を上げておきますが。
「水平方向の距離で一番近いのはどれか？」とありますが
とんちでなければ水平距離の位置は一意に決定されます。

y方向の原点を地上、x方向の原点を投擲位置とします。

運動方程式　mx''= 0　（ｘ方向成分）
　　　　　　my''=-mg （ｙ方向成分）
を解くと（mは投擲物の質量、gは重力の加速度）
（初期位置を(0,h)、初速を(vx,vy)、投擲角度を３０゜とする）

x=vx・t, y=-g/2・t^2+vy・t+h

です。地上に到達するとy=0だから

0=-g/2・t^2+vy・t+h

となります。

vx=19.8cos30, vy=19.8sin30=9.8

だから、これに指定値をいれると

-9.8/2t^2+9.8t+73.5=0　すなわち、 t^2-2t-15=0

ゆえに、t=-3 or t=5　だがt=-3は投擲以前の時刻なので無視。
これをxの式に入れて

　x=vx・t=19.8cos30・5 □

お礼

回答していただきありがとうございます。おっしゃられた通り、参考書がないとかなり難しい問題なんですね（＞－＜）　高校時代に留学しており、帰ってきてからも文系一筋で、ベクトルすらよくわからない状況で・・・でもあきらめることなくぜひ試験に挑戦したいと思いますので、アドバイスしていただいたように教科書を借りるなどして、基礎から勉強したいとおもいます。いろいろアドバイスありがとうございました☆

回答No.4

mclarennn

三十度上向きの矢印を↑→に分解します。
ベクトルの分解。
→が水平方向の成分になります。
三角関数から水平方向の速度が出ます。
5.0はボールが落ちるまでの時間です。
１９．６sin３０が上向きの速度です。
-73.5＝１９．６ｔsin３０-１/２＊９．８ｔ＾２
sin３０は１/２
（ｔ＋３）＊（ｔ－５）＝０
ｔ＝５（ｔ＞０）
つまり５秒間に進む距離は、１９．６＊cos３０＊ｔ
より１９．６＊cos３０＊５．０

すいません文章での説明で分かりにくいとは思いますが

お礼

回答ありがとうございます。分解するという考え方は、力のつりあいというところを少し勉強した時に出てきたのですが、この問題にも使うとは思ってもみませんでした。→が水平方向の成分になるんですね。お答えしていただきありがとうございました☆

回答No.3

fcrjoey

あ、マナー違反だったのか・・・
すみません。
教科書もないという事だったので
課題の類では無いと思ったので・・・

あと、公式ではありませんというのは
数字ごと丸暗記してもしょうがないですよという意味でした。

お礼

ありがとうございます☆今は独学で勉強しているので、課題ではありません（＾－＾）　今となっては、先生がいてくれたあの時代が懐かしいです（＞－＜）（笑）　あまりにも広範囲な試験のため、できるだけ公式などを覚えて・・・と思っていたのですが、使い方がわからなければ、その公式を使う問題が出てきても解けないですもんね。アドバイスありがとうございました☆

回答No.2

fcrjoey

最初の式は公式ではないです。（しかも間違っている気が・・・）
まず最初に、斜めにものが投げられているので
縦方向と横方向に分解して考えます。
図を書く事が出来ないので、うまく説明出来るかどうかわかりませんが・・・
まず最初に縦方向だけ考えます。
30度なので三角定規を思い浮かべて下さい。
その斜めの辺が今回の場合19.6です。
その時のその辺以外の短い方をa、長い方をbとして考えます。一番とがった所から斜めの辺に向かって投げたイメージで、bが水平方向、aが垂直方向です。（斜めの辺をcとします）
この時各辺の長さが1：2：√3（a：c：bです）になったのは覚えていますか？

で、今から縦方向のみを考えます。
初速が無い時の自然落下の時の落下距離は1/2gt^2になります。（^2はtの2乗です）
今は今いる場所を0として考えて上方向が+、下方向を-として考えます。ですので、落下距離は-1/2gt^2です。
しかし、今回上方向に初速がありますので、初速によって上方向に向かう距離を考えてやらないといけません。上方向に向かう距離は先ほどの1：2：√3から上方向への初速は9.8m/s。それによって発生する移動距離は9.8tとなります。
この2つを足しあわせると、9.8t-1/2gt^2となります。
これが今いる場所より73.5m下になった時が、地面に落下する時間ですので、-73.5=9.8t-1/2gt^2となります。
これを解くとt=-3，5となります。
-3は3秒前になりますので、考えないとすると、5秒後に地面に到達するという答えになります。

そしてここで水平方向について考えるのですが
5秒間に進んだ距離は、5×水平方向の初速です。
先ほどの1：2：√3で考えると、5×19.6×√3/2となるのですが、√3/2を三角関数で表すとcos30になります。
三角関数の基礎は参考URLをご覧ください。

しかし、高校出て14年も経つと、だいぶ忘れているもんだなぁ・・・

参考URL：

http://www8.plala.or.jp/ap2/suugaku/sankakukansuunoshoho.html

お礼

とてもわかりやすく説明していただき、ありがとうございました。　一緒に三角関数についても勉強することができ、すごく知識を増やすことができました。教科書がないということにも気を使っていただき、ものすごくわかりやすい言葉で書いていただいて、本当にとてもよくわかりました☆ありがとうございました☆

回答No.1

star_watch

直接的な解答はマナー違反のようですので、遠慮させていただきますが、このような問題の考え方を書いてみます。

(1)まず、物体（小球）は斜め上方に投げられています。斜め上方に19.6m/sと分かっているだけでは問題は解きにくいので、この19.6m/sの斜め向きの速度は、縦方向にはどのくらいの速度があり、横方向にはどのくらいの速度があるのかということを考えます。（速度を鉛直成分、水平成分に分けるということ。）
分けるときに、三角関数 sin や cos　を適宜利用します。

(2)次に、
S=Vot+(1/2)at^2
という等加速度直線運動の公式があります。（Sは移動距離、Voは初速度、tは時間、aは加速度です。）
この公式自体は、高校の物理の教科書・参考書などに載っているものです。
（公式中の初速度Voは、この場合(1)で成分に分けた速度を使えば良いのです。）

あとは「距離＝速度×時間」という基本的な考えかたです。

上記の問題は、この(1)、(2)を組み合わせれば解けるのではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます☆　S=Vot+(1/2)at^2というのが、この問題の公式なんですね。この公式の意味をしっかり理解して、ほかの問題が出てきた時にも、この公式を使いすばやく解けるように、がんばりたいと思います（＾－＾）ありがとうございました。