{φ} について

質問

集合で、要素が一つもないものがφですよね。
これが｛｝の中に入って{φ}となると、
どういう意味になるのでしょうか。
また、{{a,b}}のように、
{}の中に更に{}と要素が入っているのは、
何を表すのでしょうか。

困ってはいないので急いではいませんが、
気になって仕方ないので、
どなたかご回答、
どうぞよろしくお願いします。

回答No.4

ken1tar0u · ベストアンサー

まず、空集合 { } を φ（ギリシア文字のファイ）と書かれていますが（またたまに数学書でもそう書いた物がありますが）、本当は空集合の記号は真円○に斜線／を引いたものです。
でもまあここではφを使うことにしましょう。
集合は直感的には「数学的な対象の集まりで、その集まりに入るかはいらないかが明確に決まったもの」とでもなるでしょうか。例えば「3 の倍数で正のものの集合」={3, 6, 9, ...}など。
一方で「大きい数の集合」なんてのは「大きい数」かどうかが曖昧なので集合とは呼ばない、とこの辺りまでは御存じでしょう。
さて、様々な集合の中には集合の中身（要素）がまた集合である場合も在り得るわけです。
ご質問の {φ}={{}} や、{{a, b}} はその例です。こんな例は高等数学（大学レヴェル以上）でしか使わず、どんな場合にそんな概念が必要かを説明しだすと大変ですのでこれくらいにしておきます。

ところで失礼ながら No.1 さんの例は良くないと思います。普通、「～の集合」は「～すべてを要素とする集合」のことを意味しますので、「小学生の集合」は「世界中の小学生を要素とする集合」ということになります。A={a, b}ってことはないでしょう。そこでAを「山田地区に住む小学生の集合」とすればまあいいでしょうか。Z, B, Cも同様に解釈してみましょう。C=φということは、たまたま山田地区には高校生が住んでいないということですね。
山田地区に住む児童・生徒の集合Z={a, b, c, d}となり、Zの部分集合は例えばφやA={a,b}であって{A}={{a,b}}はZの部分集合ではありません。
「Z={a,b,c,d}の部分集合全体の集合」となると、その要素はまた集合で、具体的に書くと、
{{}, {a],{b},{c},{d},{a,b},{a,c},（ちょっと省略）,{a,b,c},{a,b,d},（また省略）,{a,b,c,d}}
ということになります。この集合は「全部で16個の集合を要素として持つ集合」です。

回答No.3

kentarou2333

{φ} って意味不明ですよね。

例えば、卵と、鳥の食べ方の組み合わせを考えて見ましょう。

なにも、食べない（＝φ）
卵だけ食べる（＝{卵}）
鳥だけ食べる（＝{鳥}）
両方食べる（＝{卵,鳥}）

このように、４通りの組み合わせがあります。
これらの４通りの組み合わせを集合で表すと、
　{ φ, {卵}, {鳥}, {卵,鳥} }
というようになりますよね。

ここで、卵アレルギーの人だと、卵が食べれないので、食べ方の組み合わせの集合は、
　{ φ, {鳥} }
というように、なりますよね。

さて、鳥も食べれない人の食べ方の組み合わせを集合で表すとどうなるでしょうか？
　{ φ }
ですよね。

このように、φというのは、空集合（何もない）という事を表します。

そのため、「何もない」というものを含むのが
{ φ }という表現になります。

同じように、{{a,b}} というのは、{a,b} という集合を含む集合という事になります。

回答No.2

sunasearch

＃１です。

Z={{a,b}}は、Y={{a,b}}の間違いです。

回答No.1

sunasearch

どちらも、集合の集合を表します。

学生の集合Zの中に、
小学生の集合A={a,b}、中学生の集合B={c,d}、高校生の集合C=φ、
があるような感じです。

このとき、Zの部分集合Yについて、

Y={A}もしくは、Z={{a,b}}
Y={φ}

となることがあると思います。