座標系とは？

質問

物理において「座標」とはいったいどういうものを指し示す事項なのでしょう？
なんとなく「空間の任意の点」を表すものと考えられるとは思うのですが、
それでは直交座標系がそれを満たすのはなんでなのかと考えると難しいです。
同様に極座標系も座標系と認められるのはなぜでしょう。
数学的にはどう解釈されるのでしょうか。
また、もし参考文献があれば教えてください。

回答No.3

ken1tar0u · ベストアンサー

No.2 への sioois さんのコメントを読んでの書き込みです。
直感で僕らが認識する空間では、上手に座標の組み合わせを選べば、3つの数値のセットでどんな点でも位置を表現できます。そして2つの数値では表現しきれない点があります。そうした場合に、僕らはこの空間は３次元である、と呼びます。
普通は「空間に座標系を設定した」と言えば、上記の「上手に座標の組み合せを選んだ」ことを意味しています。選び方が旨くないと、表現できない点が出たり（x軸とy軸を平行にしてしまったらそうなる）、座標値を構成する数値の個数が無駄に多くなり、また1つの点の位置を表すのに何通りかの異なる座標ができたりします。
だから、空間内のどんな点でも、その場所を数値の組合せで表現できる、その数値の「個数」が「３」である、ということが重要です。論理的には、空間が３次元だから３つの数値で表されるのではなく、経験的に３つで必要十分だから僕らの認識する空間が３次元だと判る（次元という言葉をそのように定義する）わけです。
物理のイメージを離れた純粋数学での座標の定義は No.1 の回答に書かれてあることで大体いいと思いますが、厳密には非常に抽象的な概念なので、一旦ここで筆を擱（お）きます。

お礼

ありがとうございます。
なるほど。物理の世界においては、「経験的に」三つの数値のセットで空間上の位置を表現できるから３次元なのですね。
とすると独立な３つの数値を用いて表現しうる点は直行座標系で表現しうる点をすべて網羅するといえるのでしょうか。
なんだか物理でいう「空間」が結構直感的なものだから数学で定義するのは難しいですね・・・
座標の取り方によって物理法則が崩れるわけにいかないんだからそこらへんは厳密にわかるといいんですが・・・

回答No.5

ken1tar0u

> ただ極座標などの場合、角度に関して「平行である」というのはどう捉えればよいのでしょう？
> 原点からの距離と角度二つあればいいのはわかるのですが・・・

「平行」というのは点ではなく２直線（または線分）の話、つまり空間内に２本の直線があるわけですよね。その直線たちの単位方向ヴェクトルたちが同じか逆向きであればよいということになりますね。
平行を考えるのは極座標で無いほうがラクですが、単位方向ヴェクトルにしてしまえば極座標でも構いません。

回答No.4

sunasearch

空間の任意の点を表すには、直交座標系である必要はなく、３次元（互いに平行でない軸を３つもつ）であればよいのです。

ですから、極座標にした場合でも、それが３次元の座標系であれば、数学的な変換を施すことによって、表現が可能になるのです。

下に、画像処理やロボットの自立移動などで使われる座標系について説明したURLを挙げておきます。

参考URL：

http://www.mech.tohoku-gakuin.ac.jp/rde/contents/course/robotics/coordtrans.html

お礼

ありがとうございます。
平行でない三つの軸があればそれは直行座標系と同様の点を表す、というのはよくわかりました。
ただ極座標などの場合、角度に関して「平行である」というのはどう捉えればよいのでしょう？
原点からの距離と角度二つあればいいのはわかるのですが・・・
お礼でさらに疑問を深めてしまって申し訳ございません。

回答No.2

jack4spin

先日大学の物理の授業で「座標系とは何ぞや」という話を聞いたのでお答えしてみます。
（講義では空間だけでなく時間も含めて時空として話していましたが、ここでは時間はなしにしておきます。）

物理における座標系とは、空間の中でのある現象に対して、それがどこで起きたかを定量的に決めるものです。
ある現象から３つの数の組への写像と言ってもいいです。
なぜ３つなのかというと、空間は３次元だからです。
なので、別に直交座標じゃなく極座標とかでもいいのです。
どこで起きたかを定量的に決められるのですから。

また、すべての座標系が慣性系ではない、ということはご存知ですよね？
ここら辺はまた別の話ですね。

数学的な解釈ではなくてすみません。

お礼

回答ありがとうございます。
No.1でも書いたように私はまだ大学初年度なので詳しくはよくわからないのです・・・
（ただ課題の中でこのことを明らかにしないと正確な議論が不可能になる箇所が出てきたもので・・・）
現象がどこで起きたかを測定可能なものに写像する、ということでしょうか。

それならばなぜ３つの数の組で空間内の点を表すことができるのでしょう？
（x軸とy軸が平行なら平面しか表せないですよね・・・？）
それとも空間＝３次元と定義してとりあえず今の段階では物理では３次元を対象に議論を行うものとして捉えておけばよいのでしょうか。
（しばらくは３次元を超える議論はなさそうですし・・・）
何もわかってなくてスミマセン・・・

回答No.1

shkwta

一般に、n個の実数の組から集合Aへの写像
a = f(x1, x2, x3, ..., xn); a∈A
で、
(1)連続であること
(2)Aの任意の元bに対して b = f(x1, x2, x3, ..., xn)　となるx1,x2,...,xnの組があること

を満たせば、fを集合Aにおける座標として使用できると思います。fは1対1でなくて多対1でもかまいません（たとえば、極座標は多対1です）。
集合Aは、距離（あるいは、一般に近傍）が定義されていればどんな集合でも良いと思います。たとえば人の眼に見える色を３つの実数で表すのも座標の一種です。

数学的な議論の詳細は専門家の登場をお待ちします。

お礼

早速回答ありがとうございます。
ただ私はまだ大学に入りたてであまり数学の知識がないため
いまいちピンとこないのです・・・
（質問の段階で「数学的には」なんてきいてしまって非常に申し訳ないです）
変換f自体が座標と定義されるのですか？
(x,y,z)のようにあらわされる直交座標系ではその三実数を
ベクトルに移す変換を座標と呼ぶのでしょうか。
だとするとかなり広い意味で解釈されうるのですね・・・