無理関数の場合分けなど・・・

質問

まず、パソコンで書くのが難しいですが(xは見にくいのでaにしました)

1/a-1>a-1・・・#1

これを解くときにa-1>0 , a-1<0に分けますよね？
そして、
a-1>0
a>1

そのまま#1を計算しa>1を合体させる
1<a<2

a-1<0
a<1
#1の符号を逆にして計算しa>1を合体　(１)
a<0

この二つが答えなんですが、なぜ(１)のa-1<0ときに符号を逆にして計算するのでしょうか？
なぜ、a-1>0のときには符号を変えないのでしょうか？

それと、もう一つ
√a+1>-a+5 (ルートの中身はa+1です)

1,
-a+5≧0
5≧a
かつ
a+1>(-a+5)^2
を満たすとき・・・(２)
計算すると3<a≦5

2,
a+1≧0
a≧-1
かつ
-a+5<0
5<a
のとき・・・(３)
計算すると5<a

1・2の結果を合わせて「3<a」ってなるんですが

なぜ、1や2って分けるんですか？
なぜ、(２)や(３)を満たすときってわかるんですか？
最初の問題のように符号は逆にしないんですか？

もし√a+1≦-a+5の場合はどのように場合分けするんですか？
なぜそういう風に分けるのかを教えて頂けたらと思います。

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

負の数をかける時には、不等号の向きが入れ替わります。

-2 < 3

両辺に-1をかけると、

2 > -3

となり不等号の向きが入れ替わります。

それを文字でやっても同じことで、
掛け算するa-1が正か負かで場合分けしています。

また、二乗するときは、両辺ともに正の値であれば、
不等号の向きは変わりません。

2 < 3 -> 4 < 9

片方が負の場合は、絶対値が大きいほうが大きくなります。

-2 < 3 -> 4 < 9
2 > -3 -> 4 < 9

通常、この両者を区別するために場合分けをします。

今の問題の場合、平方根は必ず正になりますから、
右辺が負のときには、２乗するまでもなく、
右辺が小さいことがわかります。

お礼

なるほど～。マイナスをかけると符号が逆になるのは知っていたんですが、分母!?をなくすときにはマイナスをかけているのと一緒なんですね～。
謎が一つ解けました(^_^)v

平方根の方は先生に相談したら何となくわかりました。
回答ありがとうございました。