因数分解？ 高校１年生です

質問

「１から２００までの自然数の積は　何回５で割り切れるか」という問題で
解答は「５の倍数は２００÷５＝４０で４０個　２５の倍数は２００÷２５＝８　１２５の倍数は２００÷１２５＝１　で　４０＋８＋１＝４９　なので　４９回割り切れる」

入学後のテストで　間違えた問題です。　
一生懸命　考えたのですが　答えの意味もわかりません。
よろしく　お願いします。

回答No.2

Jinjim · ベストアンサー

この問題を別の表現にしてみます。
「1から200までの自然数を全部素因数分解した場合、5という素数は全部でいくつあるか」
回答の第一段階：
5×□は、全部で40個ある。
回答の第二段階：
5×5×□は、全部で8個ある。ただし最初の5は、第一段階ですでに数えてある。
回答の第三段階：
5×5×5×□は、全部で1個ある。ただし最初の5は第一段階で、二番目の5は第二段階ですでに数えてある。
最終回答：
だから、5は全部で、40＋8＋1

おわかりですか？

お礼

私の質問にご丁寧にお答え下さり　ありがとうございました。
とても　困っていたので　本当にうれしかったです(^O^)
わかりやすい言葉で説明していただき　とても理解できました。
また困った時には　アドバイスをよろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.5

birthdayc

回答は皆さんの言うとおりです！
ちなみに、早稲田の問題ですね。
なかなかいい高校に入られたのでしょうか？がんばってください☆

お礼

私の質問にご丁寧にお答え下さり　ありがとうございました。
はげましのお言葉　とてもうれしいです。
早くも　難問題にあえいでいますが　ガンバっています(*^_^*)
また　困った時にはアドバイスをよろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.4

m770

５、２５、１２５の倍数以外は５で割り切れません。
　２００÷５＝４０回は５で割り切れます。これは分かりますよね？
　２５の倍数は５×５ですから、２回ずつ割り切れます。ところが先の２００÷５で１回分が重複していますので、単に２００÷２５＝８回を加えれば良いのです。
　同様に１２５も５×５×５ですが、５と２５で重複していますので、これも２００÷１２５＝１回を加えればよいのです。

お礼

私の質問にご丁寧にお答え下さり　ありがとうございました。
とても　困っていたので　本当にうれしかったです(^O^)
簡潔に要点をまとめて説明していただき　わかりやすくて助かりました。
また困った時には　アドバイスをよろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.3

Three_Speed

壱、
200÷5・・・（1・2・3・4・5）（6・7・8・9・10）・・・（196・197・198・199・200）で40個
このとき、最後の数字は5の倍数になります。
だから40回は5で割れます。
弐、
壱の方法を使うが時々25（5×5）の倍数が出てきてしまう。
壱では25の倍数も一回分しかカウントしていないので、その分を200÷25で補っている。
参、
200÷125も弐と同じ

お礼

私の質問にご丁寧にお答え下さり　ありがとうございました。
とても　困っていたので　本当にうれしかったです(^O^)
ひとつひとつのご説明はとても参考になりました。
また　困った時にはアドバイスをよろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

wild_herbs

こんばんは

まずは狭い範囲で考えてみましょう
例えば「1から30までの自然数の積は何回5で割り切れるか」と言う場合
1x2x3x4x5x6x・・・・ｘ25ｘ26ｘ27ｘ28ｘ29ｘ30が何回5で割り切れるかです
まず「5」というのは素数です、つまり「5」は1以外の整数の約数を持ちません
これを念頭に入れて上の積にいくつ「x5」を含むかを数えればいい訳です
単純に数え上げてみますとまずx5、x10、x15、x20、x25が思い浮かぶと思います
それぞれx5、2x5、3x5、4x5、5x5ですからこれをまとめると
【まず5の倍数がいくつ含まれるかを数える】です
しかしここに落とし穴があるんですが・・・もちろん25=5x5です
25をかけるということは5を2回かけていることになるのは明白です
【次に25の倍数がいくつ含まれるか数える】
ですから答えは5+1=6回となります

200までの場合5x5x5の125も含みますから
【125の倍数がいくつ含まれるか数える】
さらにかける数の範囲が大きくなったら
【625→5x5x5x5の・・・】
【3125→5x5x5x5x5の・・・】
と増えていくだけです
例えば1から10000までに・・・なんて問題も解けるはずですよ

参考までに

お礼

私の質問にご丁寧にお答え下さり　ありがとうございました。
とても　困っていたので　本当にうれしかったです(^O^)
ちょっと（だいぶ）無理して入った学校なので
何とか　おいていかれないように頑張っています。
また困った時には　アドバイスをお願いしますm(_ _)m