カイ二乗分布のパーセント点について

質問

母分散の区間推定などにカイ二乗分布を使うときに
たとえば有意水準5％で推定するときに両側検定をすると
カイ二乗分布表の上側確率0.025％の部分と0.975％の部分を見ることになりますよね。

そのとき、0.025％の部分のカイ二乗値から0.975％の部分を計算することはできるのでしょうか。

たとえば、Ｆ値の場合Ｆ（0.975）＝１／Ｆ（0.025）の関係があるようにカイ二乗値にも右側と左側で関係性があるのかどうかということです。

うまく説明ができていないかもしれませんが、ご解答いただければ幸いです。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

ちょっと興味を持って本を見てみましたが、なかなかうまい関係は
見つかりませんでした。
自由度m,nのF分布の上側α点と、自由度n,mのF分布の下側α点が
逆数の関係にあるというのは、確率変数Xが自由度m,nのF分布に
従えば、1/Xは自由度n,mのF分布に従うということを使っていますが、
χ2分布にはこのようなうまい関係は見つかりませんでした。

χ2(m)に従う確率変数Xと、χ2(n)に従う確率変数Yが独立なら、
(X/m)/(Y/n)はF(m,n)に従うというのはありますが、これと上側・下側
α点を関係付けるのは難しい・・・

他にも、X1,・・・,XnがN(0,1)に従って独立なら、X1^2+…+Xn^2は
χ2(n)に従うということから、できないかと考えてみましたがうまく
いきません。

たぶん使うこともないし、簡単な関係はないのでは？

そもそも表に上側点、下側点の片方しか載ってない表なんてあるのです
か。私は、何冊か本を持ってますが、どれにも両方載ってます。

お礼

やはり両方載っている資料というのが標準なのでしょうね。
ありがとうございました。

回答No.3

backs

> その場合に求める公式があれば知りたいなと考えているのです。

今,手元にないので参照することができないのですが

水野欽司「多変量データ解析講義」朝倉書店

の巻末にp値あるいはカイ自乗値を計算するためのアルゴリズムが載っていたと記憶しています。ですが,上側パーセント点から簡単に（例えば2で割るなどして）求められる方法は載っていませんし,私もわかりません。

>　カイ二乗分布表では0.975の行が載っていないものもあります。

余談ですが,

一石賢「道具としての統計解析」日本実業出版社

にはかなり丁寧に表が作成されていますね。0.975の行も記されていたはず。

お礼

ありがとうございます。
さっそくお勧めいただいた資料を探してみようと思います。

回答No.1

backs

>　うまく説明ができていないかもしれませんが、ご解答いただければ幸いです。

私もうまく質問の意図を理解できているかわかりませんが(~_~)

例えば自由度19のカイ自乗分布において上側確率0.025となるパーセント点（カイ自乗値）は32.85233ですよね。つまり,この32.85233という値よりも右側の面積が0.025であり,左側の面積が0.975というわけです（だから0.025+0.975=1となる）。

それで質問者さんの知りたい値というのは「下側0.025となるパーセント点」なんでしょうか？それなら,8.906516となるのですが、、、

0から8.906516が下側0.025, 8.906516から32.85233までの面積（採択域）が0.95, 32.85233から∞（まぁ,50くらいですが）が上側0.025ということではないのですか？

お礼

ありがとうございます。
やはり説明が悪かったみたいです。

つまり、私が聞きたかったのは例で挙げてくださった
上側0.025となるカイ二乗値32.85233から下側0.025となるカイ二乗値8.906516を求めることはできないでしょうかということなのです。
下側0.025を知るためにはカイ二乗分布表の0.975の行を見ることになると思うのですが、カイ二乗分布表では0.975の行が載っていないものもあります。
その場合に求める公式があれば知りたいなと考えているのです。