円周率πの範囲の証明

質問

課題で、『円周率πについて、3.1＜π＜3.2であることを示せ。ただし、円周率とは、直径の長さに対する円周の長さの割合を表す。』
というものが出されましたが、どのように答えればよいのかわかりません。
本当に困っています。是非回答お願いいたします。

回答No.1

nrb · ベストアンサー

昔、円周率を出した方法を使えば良いのでは無いでしょうか
　直径１とします
　円の中にまず６角形を接する用に書きます

　これを
　８角形・・・・１２角形とすればどんどん円に近くなります

　さてたとえは６角形の外周の長さを計算すればでます

　これを８、１２、２４と進んで行けば３．１以上になる○角形がでます
　○を多くすればどんどん　円周率に近くないますね

　これで　円周率のニヤリは出ます　出た数字が
　あれば、3.1＜π＜3.2であることが証明できます

お礼

ありがとうございました。この方法で無事出すことができました。本当に助かりました。

回答No.7

tasu9

半径１の円に内接する正多角形と外接する正多角形をかいて、円周の長さ（２π）がこれらの多角形の周の長さの間にある、として不等式を作ります。
高校で三角関数を学習していれば、半角の公式を使って正１２角形、正２４角形、正４８角形などで調べてみると√がでてきてかなり複雑ですが、何とかできます。

参考URL：

http://www.janis.or.jp/users/task/

お礼

回答ありがとうございました。
高校に入学して間もないため、三角関数などはよく分かりませんが、お力添え嬉しかったです。

回答No.6

maiuumaiuu

円周率の詳しい近似値を求める方法が，講談社ブルーバックスの「高校生のための逆引き微分積分」という本の最後の章に載っています. この方法ならいくらでも詳しい近似値が求められます.

参考URL：

http://shop.kodansha.jp/bc2_bc/search_view.jsp?b=2574667

お礼

ありがとうございました。
書籍を紹介していただけるとは思わなかったので、
とても助かりました。

回答No.5

kansai_daisuki

円に内接している正多角形と、外接している正多角形のそれぞれの周囲の長さで、はさみうちにすれば良いだけです。

　ここで、それぞれの正多角形を何角形にするのかが勘所ですが、正８角形や正１２角形あたりで試してみては？

　もし勘が外れていても、nに関する整式さえ合っていれば、正n角形のnの数字を変更するだけで良いので、修正も容易でしょうし。

お礼

回答ありがとうございました。
とても参考になり、無事解決することができました。

回答No.4

mathematik

級数展開してはいけないのですか、その問題は？
近似値が求められれば範囲もわかりますよね。
そうすれば示せるんじゃないでしょうか？

お礼

回答ありがとうございました。
級数展開というものが何なのかよく分かりませんが、
お力添えありがとうございました。

回答No.3

springside

2003年の東大入試で、「円周率πが3.05より大きいことを示せ。」という問題が出ました。

この問題のように、π > 3.05を示すのであれば、単位円に内接する正８角形（もちろん、正１２角形でもOK）の周の長さを考えれば解けますが、π > 3.1を示すのはなかなか大変です。
No.2さんのように、正１８角形ぐらいが必要かも知れません。有名角ではない角度のsin,cosを求めなければならないので、困難です。電卓を使っていいのなら簡単ですが。

お礼

回答ありがとうございました。
この方法も何回か試させていただきました。
本当に助かりました。

回答No.2

postro

直径１（半径1/2)の円に内接する正n角形の周の長さがnを適当に大きくすると3.1より大きくなること。そして
同じ円に外接する正n角形の周の長さがnを適当に大きくすると3.2より小さくなること。
を示せばいいんじゃないでしょうか？
3.1<内接n角形の周<π<外接n角形の周<3.2
ちなみに少なくともn=18ならこの条件を満足しそうです。

お礼

ありがとうございました。とても参考になりました。