特性方程式の意味

質問

２または３項間漸化式を解くときに特性方程式を作りますよね。あれは単に、「２または３項間漸化式から簡単な等比数列を作ろうとしたら、たまたまこうした方法が出てきた。これを特性方程式と呼ぼう。」みたいなかんじで捉えてよいのでしょうか？まだ高２なんでそのレベルでお願いします。

回答No.2

adinat · ベストアンサー

実は微分方程式などとも関連がありますが、現状では単に特性方程式を解いて、その解を両辺から引けば漸化式が綺麗に変形できる、という認識で十分だと思います。こういう説明は授業などでも聞いているとは思いますが、念のためごく簡単な説明をしておきます。

a_{n+1}=αa_n+β

という２項間漸化式があるとします。これはもしβが0であれば単なる等比数列であることから、等比数列から少しずれた感じの数列であると考えられるわけです。そこで数列を少しいじって等比数列に変形させます。b_n=a_n-xという新しい数列を考えます。単に定数だけずらしただけです。そうすると

b_{n+1}+x=αb_n+αx+β

という関係式が導けます。そこでxを右辺に移項して、

b_{n+1}=αb_n+αx+β-x

となります。もしαx+β-x=0であれば、数列{b_n}が等比数列になるということがわかるわけです。そこでこの条件αx+β-x=0を見るわけですが、これは実は、

x=αx+β

という関係式です。すなわち、元の漸化式の両辺からxを引いてやれば等比数列（b_n=a_n-xが）に変形できるわけですが、そのxは元の漸化式のa_n、a_{n+1}をxに置き換えたものになっています。

受験の役に立つことではありませんが、特性方程式がこのように単純に得られること（数列のa_n、a_{n+1}をxに置き換える、あるいは3項間なら2次方程式を考える）は単なる偶然ではなくて、漸化式の線形性という都合のよい性質によっています。同じ2項間漸化式でもたとえば

a_{n+1}=2a_n^2+1

のような漸化式だとこの方法ではうまくいかないのです。3項間漸化式の場合はa_{n+2}をx^2に、a_{n+1}をxに、a_nを1におきかえた2次方程式を考えますが、こちらもやはり線形性という性質が深く関わっています。なおさらに一般の(線形)n項間漸化式に関しても同様にn-1次の特性方程式を作ることができます。このあたりは理系の大学初年級で習う線形代数を学ぶと行列の固有方程式との関連で理解することができます。

いずれにせよ高校レベルを逸脱しているので、学校や塾ではとにかく特性方程式を解いて変形せよ、と教えることにしているんだと思います。ただ上にも説明したように、なぜそのような特性方程式を解けば漸化式が簡単になるかは高校生でも証明できます。難しいのは特性方程式と元の漸化式はどう見てもとても簡単な関係にあるように見えるが、それはなぜか？ということです。こういうことを疑問に思えるというのはそれはとてもすばらしいことだと思います。

（以下、ちょっと専門用語が混じるのでわかりにくかったらそういうこともあるんだというぐらいの認識で読んでください）♯1さんの極限による理解は実はこの場合はよい説明になっていません。というのは数列は一般に収束するとは限らないからです。収束する数列の極限を求める問題でもやはり特性方程式と呼ばれる用語がでてきますが、そういう問題はおいおい数IIIで経験されることだろうと思います。同じ特性方程式という用語ですが、指しているものはまったく異なります。なお隣接線形2項間漸化式の場合のみ、これら二つの特性方程式が一致します。これはたぶん偶然の一致であると思いますが、そのことについては僕にはよくわかりません。少なくとも3項間以上や、非線形の場合は一致しませんので（非線形の場合は前者の特性方程式自体そもそも定義できませんので）。

お礼

ありがとうございました！！！「等比数列から少しずれた感じの数列であると考えられる」という見方ができませんでした。実は塾で習っただけで、詳しく学校では習っていません。わからないことが多かったのですが、偶然ではないことは式を見て理解できました。とっても賢いのでしょうね、adinatさん。

回答No.1

nontitti

特性方程式は、極限の考え方を用います。ですから数IIIの履修が不可欠です。数研出版の現行の数IIIの教科書（レベルは不明：というのは、同じ数III教科書でも何冊もあるので）に、なぜ、特性方程式が成立するのか説明してあります。一度見てみてはどうでしょうか？

＜雑駁な説明しますね＞
　例えば二項間の場合ですが、
An+1 = An + pという場合に、
AnとAn+1という違うものに、同じαとおいてαの方程式を解くのが、特性方程式ですね。しかし、違うものに、同じ文字αと置いていいのか！という疑問が沸きますね。ここに極限という考え方を導入して行きます。詳細は数IIIで学んでください。
　単純に言うと、AnもAn+1も同じ数列ですね。もし、nが∞まで行ったとしたら？同じ数になる気がしませんか？
例えば、初項1/2で公比1/2の等比数列だったら、nを∞まで行くとゼロに近づきますね。変な書き方ですがA∞=0でありA∞+1=0となる気がしませんか？
といった具合に、その同じ数をαとしているのです。
　数IIIを全く習っていない方には、これが説明の限界かな。数IIIの教科書の最初の”数列の極限”というセクションで収束、発散程度を理解して貰えれば、もう少し突っ込んだ説明が可能ですが、ここでは、この程度に留めます。
　ですから、現時点ではAcer2さんの言う理解でよいと思います。数IIIを学んだ一年後には、その理解の精度が更に上がるのでしょう。

お礼

ありがとうございます。わかる気がするんですがひとつ。その考え方では分母が無限である数はゼロということなのでしょうか？（あんまり頭よくないんでわかってなさそうなら無視してください。）

補足

すいません、僕まだ高1です。8日から高２です。