特性方程式の意味

質問

漸化式が与えられていて、その数列の一般項を求めるとき、特性方程式を利用して求める方法がありますよね。

このとき、第ｎ＋１項と第ｎ項どちらも同じ文字に置き換えた式が特性方程式となりますが、
ｎ＋１項とｎ項は全く別物なのに、同じ文字に置き換えられることがどうしても納得できません。

教科書では、同じ文字で置き換えられると言うことが証明もされているので、確かに同じ文字で置き換えられますが、やっぱり納得できない!!

どなたか納得できる説明をして下さい。
回答よろしくお願いします。

回答No.5

noname#171951 · ベストアンサー

それなりの理由がありますが、ここで説明するには
奥が深すぎてスペースが十分ではありません。

3項間の漸化式の場合、a_1,a_2,b,cが与えられていて、
a_n=b(a_(n-1))+c(a_(n-2))
のようになっていますよね。

そこで2次元のベクトルv_n=(a_(n-1),a_n)^Tを考えます。
ここで^Tは転置を表す記号です。すると、

a_(n-1)=0(a_(n-2))+1(a_(n-1))
a_n=b(a_(n-1))+c(a_(n-2))

なので、適当な2(チェック)2行列Mがあって、v_n=Mv_(n-1)と
表せます。もしMのべきM^(n-2)が求まれば、
v_n=(M^(n-2))v_2
となるので、v_nの第2成分であるa_nが求まります。

どのようにしてMのべきを計算するかというと、固有
ベクトルと固有値を求めることによります。つまり、
2次元のベクトルx(≠0)と数λで
Mx=λx
を満たすものを見つけるのです。
これを見つけたあとどうするかについては省略します。

この方程式が解をもつ条件はdet(λE-M)=0です。
Eは単位行列、detは行列式を表します。
これがいわゆる特性方程式というものです。

3項間に限らず一般にn項間の漸化式でも同じ方法が
使えます。

また、同じ方法が微分方程式を解くのにも使われます。

もしかすると進んだ参考書にはその触りくらい載っている
かもしれませんが、詳しくは大学に入ってから線形代数と
いう科目で学ぶはずですので楽しみにしていてください。

回答No.4

ereserve67

例えば漸化式

(☆)a_{n+1}=2a_n-1

を考えましょう．これの両辺から1を引くと

(1)a_{n+1}-1=2(a_n-1)

となり{a_n-1}が公比2の等比数列・・・というふうに解くわけです．

さて，ここで☆の両辺から1を引くとどうして(1)になるのでしょうか．それを解決するのが次の特性方程式です．

(★)α=2α-1

これは☆とは独立に成立する方程式であって，☆から導かれたわけではありません．ただ，☆の形をまねてつくられているだけです．ここが理解できれば質問者様の疑問は解決したことになります．

・・・よく考えて下さい・・・

さて，理解できたとしましょう．★は容易に解けてα=1です．つまり★は☆とは独立に成り立つ次の等式になります．

(★')1=2・1-1

☆から★'を引くと，(1)が得られます．

回答No.3

naniwacchi

こんにちわ。

扱いやすい形（等比数列の漸化式）に変形できることを要請していくと
導かれるということでよいと思うのですが。

隣接2項間の場合
漸化式： a(n+1)＝ p* a(n)+ qに対して、
a(n+1)- x＝ y* { a(n)- x }と変形できることを要請します。

a(n+1)＝ y* a(n)+ { -xy+ x }と変形して、もとの漸化式と係数比較することで
y＝ p, -xy+ x＝ q

さらに、ここから
-px+ x＝ q
x＝ px+ q

xは上の1次方程式の解として与えられます。
a(n+1)や a(n)を置き換えたというよりも、そのような変形を満たす xは特性方程式の解になっている。
とでも解釈しておくほうがいいと思います。

隣接3項間のときも同じように要請していくと、
足してα+β、かけてαβという形→2次方程式の形にたどり着きます。
（こちらは先日の質問にも書かせてもらいました）
http://okwave.jp/qa/q7773942.html

数列に限らず、「特性方程式」は大学の数学で出てくる場面があります。
もっと深い意味があるかもしれませんが、高校数学の範囲であればここまででよいと思います。

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q7773942.html

回答No.2

bgm38489

隣接二項漸化式ですね。なぜこうなるのかは、以下サイトに詳しく乗っています。
http://yosshy.sansu.org/tokusei.htm
つまり、等比数列を作って解いたら、たまたま漸化式のn項、n+1項を同じ文字に替えた形になった、というだけです。隣接三項だったら、ｘ＾２＝ｂｘ＋ｃとなります。

回答No.1

KappNets

漸化式でnを無限大に持って行ったとき、a(n)もa(n+1)も同じ値に収束すると考えることが出来ます：すなわちa(n)=a(n+1)=xのように置き換えることが出来ると考えるわけです。

むろん収束しない（発散する）ような数列ではダメですが、そのような場合は後から分かります（確認出来ます）から問題ありません。