証明

質問

放物線y=〔1/(4p)〕x＾2に、点（a,-p)から引いた2本の接線は、aの値にかかわらず直交することを証明するのがわかりません
おねがいします

まずとく前にどんな図か想像したのですが
下に凸の放物線で2本の接線があるのかな？
でもよくわかりません
いろいろと2じかんすうの参考になるのを探したのですが難しくてお願いします

回答No.5

act3

微分のやり方は教科書を見てもらうのが一番なのですが。たしか数IIIで習うと思います（数IIでも簡単な微分はやったかな?曖昧ですみません）。
それから勉強する範囲ですが、ちょっと答えるのが難しいですね。一言に二次関数の問題といっても様々なパターンがありますから。
あまり参考になる回答になってませんね。ごめんなさい

回答No.4

act3

No3です。
微分がよく分からなければ、接線の決定法（２）を用いてください。（s , s^2/4p)と(a,-p)の２点を通ることから接線を決定してください。

補足

微分のやりかたを教えてもらってもいいですか？
それから、これは2次関数の問題なのですがどの範囲を勉強すればいいですか？
よく把握できなくて

回答No.3

act3

まず接線の方程式が必要ですね。
接線（に限らず直線）の方程式を決定するためには
(1)直線の傾きと通過する１点がわかっている
(2)直線が通過する２点がわかっている
この(1)(2)のどちらかが必要になります。この問題では(1)を用いるのが良いのではないでしょうか。
まずｙ＝(1/4p)x^2を微分して接線の傾きを出してください（質問者さんが微分の知識があるあることを期待します）これで(1)のうちの１つの情報が得られました。後は通過する１点がわかればいいですね。そこで問題文を見ると接線は点（a,-p)を通ることが分かりますからこれで接線決定のために必要な情報がそろったわけです。
それでは放物線上の任意の２点の接線を決定してくださ
い。後は求めた２つの接線がａの値にかかわらず直交すれば
ＯＫなわけです。
ここで重要なポイントがあります。それは「２直線が直交するための条件」です。その条件は２直線の傾きの積が－１になるということです。計算を進めていくと今回の問題ではこの条件式の中にａという文字が入ってないはずです。つまり直交するかどうかということにａは無関係ということです。だからａの値にかかわらず直交するということが証明できたといえるのです。
こんな感じでどうでしょうか？

補足

接線の勾配は　y'=〔1/(4p)〕2x= x/(2p)
がよくわかりません

回答No.2

musubime

>下に凸の放物線で2本の接線があるのかな？
>でもよくわかりません
多分勘違いしてますよね．(a,-p)が与えられた放物線上にあると思ってませんか？（違ってたらごめんなさい）．違ってないとして続けると，
適当に放物線を描いて，適当に２本接線を引いてみては？（例えばy=x^2 をかいて(0,0) での接線Ａと(2,4) をでの接線Ｂ）するとＡ，Ｂは２本の直線ですからどこかで交わりますよね．
問題では順序が違って，初めに２本の接線の交点ありきで，そこで交わる接線を求めて，それが常に直交することを示しなさいということです．

回答No.1

Ryou29

接線の勾配は　y'=〔1/(4p)〕2x= x/(2p)

点（a,-p)から引いた接点(m,m^2/(4p))の接線　y-(-p)= k(x-a)

.・．　y+p= k(x-a), k = m/(2p)

.・． m^2/(4p) + p = k(m-a)

.・.　　pk^2 - (m-a)k + p = 0

.・.　　k^2 - ((2pk-a)/p)k + 1 = 0

.・.　　k^2 - (a/p)k - 1 = 0

これを接線の勾配k に関する２次方程式と見て解をk1, k2 と置くと解と係数の関係から

　k1*k2 = -1

.・.　放物線y=〔1/(4p)〕x＾2に、点（a,-p)から引いた2本の接線は、aの値にかかわらず直交することの証明が出来た。。

　がんばってね。。

補足

接線の勾配は　y'=〔1/(4p)〕2x= x/(2p)
がよくわかりません