積分定数は位相と関係ありますか?

質問

位相というのは波と関係があると聞いていますが，積分もどこか波みたいなところがあるのでしょうか。ファインマンの径路積分というのも何か波の合成のような感じがするのですが・・・

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

位相と積分は大いに関係があります。ユークリッド空間でベクトルを閉曲線に沿って平衡移動させ元に戻ってくると元のベクトルと重なります。非ユークリッド空間では元のベクトルとは異なったものになります。このような現象は最近Berryの幾何学的位相との関連でますます重要になってきました。
　位相φの微分をAμとします。

　∂μφ = Aμ　(∂μ = ∂/∂Xμ)

するとある経路に沿って移動したときの位相の変化はAμを線積分したものになります。ここで可積分の条件
　∂μAν= ∂νAμ　(μ≠ν)
が満たされていればStokesの定理より閉曲線に沿って積分して元に戻ると位相も元に戻ります。ところが多重連結空間では可積分の条件が満たされず位相が元に戻りません。ファインマンの経路積分によれば確率振幅は

　∫Πdpdq exp{ih∫[L+Aμjμ]dt}

になります。つまり古典的作用∫[L+Aμjμ]dtを位相とする波を重ねあわせたものが量子論的振幅です。ここでjμは電流なので
　∫Aμjμdt = e∫AμdXμ
と曲線に沿って積分したものが電磁ポテンシャルによる位相の変化です。有名なアハラノフ=ボーム効果もこの様にして説明されます。詳細は
　シュルマン：ファインマン経路積分法（講談社サイエンティフィック）
を御覧下さい。

参考URL：

http://www.mi.infm.it/manini/berryphase.html

お礼

難しすぎて理解できないと思いますが，私なりに勉強されていただきます。ご教示大変有難うございました。

回答No.1

yumisamisiidesu

> 位相というのは波と関係がある
関係あるのは、特に周期的な波の場合だけだと思います．
一般的には、周期的でない波もあると思います
( もっとも、これもフーリエ展開などで周期的な
(cos,sinなどの)波の重ね合せで表すことが
できるのでしょうけど )
これについて、どなた様か補足をお願します
(私もよく分からないので(笑))

> 積分もどこか波みたいなところがあるのでしょうか。
積分と波は別々に考えた方がいいと思いますが？
微分や積分は夫々、関数や空間の性質の
局所的性質、大域的性質
を調べるための道具みたいなもんと理解しています．

> ファインマンの径路積分というのも何か
波の合成のような感じがするのですが
この感じ方から何か発見できるといいですね
すみません、私には、ファインマンの径路積分
を理解するのも精一杯です

お礼

ご回答有難うございます。私も，いろいろな方のご教示をいただいて少しでも勉強したいと思っています。