０にも種類があるのですか?

質問

無限には種類があるそうですが，ゼロは1種類なのですか。引き算のゼロと割り算のゼロは違うものである可能性はないのでしょうか？あるいは高等数学には別の概念を持ったゼロがあるのでしょうか?

回答No.6

grothendieck

私も０は１種類しかないと思います。それより分からないのは無限に種類があるということです。可算濃度と非可算濃度のことでしょうか。それとも超限数のことでしょうか。
　フォン・ノイマンは自然数を
　0:=φ, 1:={φ}, 2:={φ,{φ}}, …
一般に
　n+1:=n∪{n}
として定義しました。したがっていくらでも大きな自然数がありますが、この意味で最も大きな数をωと書きます。
　ω:={0,1,2,…}
しかし、さらにこれより大きな数があるのです。
　ω+1:=ω∪{ω}, ω+2:=(ω+1)∪{ω+1},…
　ω+ω={1,2,…,ω+1,ω+2,…}, …
これらを超限数と呼んでいますが、これらについても順序関係を考えることができ、このような階層がずっと続いていきます。こうして多様な数学的対象の全てを集合概念に帰着させることができ、その始まりは唯一の原子元となる空集合です。(従って、無限にはωやω+ωがありますが、0は一つだけです)。
詳細については
　A.カナモリ著「巨大基数の集合論」シュプリンガーフェアラーク
という本を見て下さい。

お礼

どうもありがとうございます。０というのは全てを含むから一つなのだろうかと考えました。

回答No.5

pyon1956

0と無限小を混同しないようにしましょう。0は数の一種です。
無限小は無限大と同じく（というか対になる概念ですので）数ではありません。
数の0は1種類だけです。ただしNo.3がおっしゃるように「0のようなもの」はいろいろありますが。
ただし無限小も数に似たものとして扱うこともできます。
超準解析なんてのがそうですが。
http://ja.wikipedia.org/wiki/超準解析

お礼

勉強させていただきます。ご教示有難うございます。

回答No.4

kentarou2333

いろいろと詳しい説明もあるかとは思いますが、まず気に留めておいていただきたいのは「無限」というのは「数」ではありません。
※ここでいう「数」は数学では「実数」と呼ばれます。

「無限」というのは、ある意味、想像上の産物です。そのため種類がいくつか存在してしまいます。
たとえば「竜」は、「動物」の延長ではありますけど、実在しないので、いくつでも種類が作れますよね。

一方、「０」は、数です。（哲学的には０の概念はいろいろあるみたいですが）そのため、０というのは明確に定義づけができますので、数としての０は一種類だけです。

また、もう少し難しい話になると、０の定義とか、０は一つしかないという証明なんかもあるんですが、いずれにしても、０という数は一種類しかありません。

お礼

大変勉強になりました。有難うございます。小学校3年生ぐらいの理解力ですから，なかなか大変なのです。

回答No.3

adinat

----------さんはけーん。

ちょっと勝手に横槍入れさせてもらうと、ゼロとは普通は環（足し算と掛け算ができる集合）における足し算の単位元のことをいいます。たとえば僕がとっても天邪鬼な人だったとして、これから「+」という記号でいままで普通に計算していた掛け算をあらわすんだ、ということにします。ややこしいですけどね。たとえば、
1+5=5
7+2=14
9+16=144
といった具合です。所詮記号なんで、別にこう決めると言っているんだから、まあ大目にみてあげてもよいですよね。このとき、
1+a=a
がどんなaに対しても成り立つわけです。でもこの「1」は普通はあんまり「0」という気はしないです。なぜならこれは掛け算の単位元だからです。普通、足し算の単位元を「0」といって、掛け算の単位元を「1」と約束します。

過去によくこの手の疑問がいろんな掲示板で出されますが、普通は0で割るという操作は考えません。実は0で割ることも許して普通に約分というものを考えられるものを考察しようとすると、そこは0しかない悲しい世界になってしまうことがわかります。このあたり環論の局所化を学ばれるとすごくよくわかります。

たとえば馬が二匹いたり、2月だったり、最低気温が2度だったり、2×2の行列の対角行列で対角成分が2の行列だったり、これらは全部2に関係しそうですがまったくもって同じものとも言いがたい気もします。でもそんなことは一切合財気にしないで、これらのものが持っているその2という性質のみを問題にしようと考えたのがそもそもの「数」というものの始まりです。その意味で昔の人はえらいと思うのです。たとえばある昔の民族では、1、2の次は「多数」だ、なんていう話もあります。少し横道にそれました。とにかくそういうように「抽象化」された「数」を扱う学問が誤解を恐れずに言えば「代数学」です。そういう意味では0はただひとつしか存在しえないものなのです。その他のプロフィールは気にしないわけです。わかりやすい例でいえば、血液型のA型はただ1種類しかないともいえるし、あるいはA型のRh+だとかもあるから、厳密にはA型は一種類じゃないじゃないか、などというのと同じです。その他の一切の性格を無視して、ただ「0」のもつ性質のみをもってすべての「0」を同じものとみなす立場にたてば「0」は「0」でしかないということです。

少し思ったのですが、高校数学程度の本でも読めそうな「代数入門」という名のついた本が結構たくさんあると思うので少し読まれてみては面白いんじゃないかなと思います。少し失礼を承知で言うんですが、もう少しいろいろな知識をさらにきちんと積まれると、kaitara様はほんとにいろいろと僕が普段まったく気にしないようなことを疑問に思われたりするので、何かよい発見とかそういうことをされそうに思ったりします。

お礼

どうもご丁寧なご教示有難うございます。最後の方のご助言もありがたいのですが、しばらく愚問を書き散らかすことをお許しください。ご回答は大切にさせていただいております。

回答No.2

----------

０とはなにか？を考えないといけませんね。

集合があって、足し算という演算があって、
どの集合の元aにたいしても、
a＋x=aとなるようなxを０と呼ぶわけです。

他に同じ性質を持つものがあったとしましょう。
それをyとします。
y＋x=xですね（上でaをyとした）。
一方、y＋x＝yです（yも同様な性質を持つから）。
（ちなみに、a＋bとb＋aはいつでも同じとしています）
よって、x=yとなります。
常に、０は一つだけです。

しかし、はじめにとってきた集合を変えれば、
０というものも変わってきます。

例えば、実数という集合を取ってくれば、
普通に用いる０がここで挙げた０ですが、
行列という集合を取ってくれば、
成分がすべて０の行列が０の役割をします。

集合を決めれば、０は、１通りですが、
どの集合で考えるかによって、０は変わってきます。

お礼

文章はすらすら読めましたが，内容はすごく難しいものでした。勉強させていただきます。有難うございました。

回答No.1

tan816

こんばんわ。
種類があるというか、－０と＋０の違いはあります。

普通の四則演算等では同じですが、例えばlimit計算などのときは全く違います。
もちろん問題によっては答えが同じになる場合もありますが。。。

お礼

有難うございます。方向か運動のようなものについては違っても0そのものはやはり一つなのでしょうか。演算毎に違うとか・・・