数学的帰納法と無限の概念

質問

部分と全体が同じであるものが無限であるという言い方があるそうですが，数学的帰納法もその例になりますか。叉フラクタルもやはり部分と全体が同じということで無限という概念に関係しているのでしょうか？

回答No.1

SIRAKI · ベストアンサー

詳しくは、数学に数学基礎論と言う分野があり
そこでは、他のあらゆる数学の分野を記述できるようにするための根本原理のようなものを与えます。
数学基礎論をさらに細かく見ると、
集合の順序や個数について論じる章があります。

>部分と全体が同じであるものが無限であるという言い方
この部分を正確に言うと
「どんな無限集合でもそれと同じ程度の無限の個数をもつ真部分集合を含む。」

* 数学では、2つの無限集合に対して、
それらが2つとも無限集合であると一色単に見ず、
それらの2つの無限集合の個数を比較することができます。

ちなみに、この命題の裏に当たると思いますが、
「どんな有限集合もそれと同じ個数をもつ真部分集合は含まない。」 ということも言えます。

ちなみに、これは 有限集合 無限集合の定義ではなく定理ですが、それらの主な特徴です。

数学的帰納法についてですが、
厳密に言うと上と話は違ってきます。
端的に言い切ってしまうと 数学的帰納法 orもう少し一般的な
超限帰納法 とは順序(=大小関係)がある無限集合
のそれぞれの要素に対応する命題を有限回の手続で証明しようとするアルゴリズムです。

フラクタルは自己相似性といわれる性質だと思いますが、
集合として同じと言うことと合同や相似の図形的に同じと言うのは数学では明らかに意味が違います。
その違いについては、数学基礎論を学習され、区別できるようになって頂きたいところです。
ただ、kaitaradouさんが思われていることもまんざらではないと思います。
フラクタルでは満たすために必要な無限的な性質はあると思います。
たとえば、平面内の線分はフラクタル図形ですが、
これは、例外的なフラクタル図形で、
他の平面内の有界(≒ 範囲が有限である)な図形でフラクタルなものは、
長さが有限になることはないと思います。

なにせ、専門的な分野だと思うので、大変なところもありますが、
きちんと理解するために、是非とも 「数学基礎論」
の本を1冊読破していただきたいと思います。

参考URL：

｢数学基礎論｣ で検索してみてください

お礼

どうもご丁寧にご教示いただきましてありがとうございました。数学基礎論を勉強することを心がけてみます。