9.999…－0.999…＝9は何故出来る？

質問

『1＝0.999…』の証明に出てくる

9.999…－0.999…＝9

という引き算がありますよね？

つまり、

0.999…－0.999…＝0

という引き算も出来るということですよね？

しかし、

0.999…は小数点以下が無限に続く数であるのに何故答えがきっちりゼロになるのでしょうか？

0.999…－0.999…＝0

とはある種、無限－無限をやっていることになりますよね？

そして無限－無限＝ゼロということになっていますよね？

上記の計算のように『0.999…』のような無限に続く数同士の引き算で何故、無限－無限＝0という事が出来るのでしょうか？

また、上記のような無限－無限の計算が出来るのなら、

例えば、仮に『…999』という左側に無限に9だけが続く無限大の数があったとして

…999－…999＝0

という計算の答えもゼロということになるのでしょうか？

※無限－無限＝0という定義があるのでしょうか？

回答No.1

DJ-Potato · ベストアンサー

1/3 - 1/3 = 0
ですよね。
0.333・・・ - 0.333・・・ = ０です。

まったく同じものを引けば、無限-無限=0です。

x - x = 0
これは、x = ∞のときも成り立ちます。

x^2 - x　も、x = ∞のときは∞-∞になりますが、これは0にはなりません。

x = ∞、というか、lim x→∞、ですが。

お礼

ご回答ありがとうございます！

1／3－1／3＝0

ということは、つまり

0.333…－0.333…＝0

も成り立つということですね、とても分かりやすいです。

x－x＝0が、x＝∞であっても成り立つというのは、無限同士は大小比べられないと思っていたので驚きました！

補足

全く同じもの同士を引けば、無限－無限であっても答えはゼロになる

ということですが、

つまり、質問で例に上げた

…999－…999＝0

という式の計算の答えもゼロということになるということでしょうか？

両辺9だけから成る無限大の一見同じ数同士の引き算に見えますが、しかし、無限大ということは両辺の数同士の大小を比べることができないと思うのですが、
つまり、無限－無限では、数の差を比べることができず、引き算自体が成立しないように思うのですが

上記の式はそれでも答えがゼロなのでしょうか？

回答No.6

mide

0.999… のように表現上（特に小数表現で）記述する「数字が無限に続くこと」と，…999 のように「数値が無限に大きいこと」とを区別する必要があると思います。

0.999… は無限に続くように見えても数直線上の１点にすぎず，表現形式によっては有限の形で表すことが可能で実数として他の実数と同様に引き算などの取り扱いができますが，後者は数直線上の１点で表されるような普通の数ではないのでそういうわけにいきません。

回答No.5

alice_44

無限-無限 は、話が違うでしょう。
0.999… = 1 に疑問を持っていたとしても、
0.999… ＜ 1 には同意できるでしょう？
0.999… は有限であり、…999 とは
事情が全く違います。

0.999… - 0.999… を、小数第一位から
順に計算してゆくと、
0.999… - 0.999… = 0.000… となって、
n 桁計算すれば、差の絶対値が
1/10のn乗 より小さいことが判ります。
任意の自然数 n に対し、1/10のn乗 より小さい
…そんな数は、0 しかないと思いませんか？

そうでもない！と思うのであれば、
貴方は必要以上に筋がよいので、
覚悟を決めて「超準解析」について
学んでみるべきです。

回答No.4

stomachman

> 仮に『…999』という左側に無限に9だけが続く無限大の数があったとして

そういう表現に意味を与えることは可能です。すると、その表現の意味する値は無限大じゃなくて、実は-1なんですよ。

　なんでそうなるのか、さてお立ち会い。
　まず、数字を４つ並べたもの "a[3] a[2] a[1] a[0]" の値は a[0]+a[1]×10+a[2]×10^2+a[3]×10^3 でしょう。つまり、数字をn個並べたものなら、その値は
　　Σ{j=0…n-1} a[j]×10^j
ということです。
　そこで、"…9999"というものの値はというと、
　　Σ{j=0…∞} 9×10^j
は発散してしまって、これでは値がないことになります。つまり普通の意味では…9999は数ではない。

　しかし"…9999"に1を足すとどうなるか。"…0000"になるでしょう。そして"...0000"の値は
　　Σ{j=0…∞} 0×10^j = 0
と、これは収束して0という値を持ちます。なので、

　　…9999+1=0
つまり、
　　…9999 = -1
と考えることができる訳です。これは負の数の「補数表現」と呼ばれています。

　　…9998 = -2
　　…5555 = -5/9
ですね。では-1/7の補数表現はどうなるか、さらには-√2だとどうか。
いろいろ研究してみて下さい。

回答No.3

FEX2053

ここまで来ると「濃度」の問題とか「超越数」の問題とか
高度な数学概念に入ってきますねえ・・・。

とりあえず、この辺を参照して頂くとして。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BF%83%E5%BA%A6_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)

無限の「大きさ」は、それに含まれる単位元が１対１で
比較できるか、というのが基本的発想です。今回の場合
「999…」同士の比較と読み替えることが出来ますので、
可算濃度を持つ無限同士の比較ということになり、この
場合、有理数の演算と同様に行うことが出来ますので、
999…　－　999…　という算式は

アレフ・ゼロ　－　アレフ・ゼロ　＝　０

となり（本当は記号"アレフ"と添え字"0"で書きます）、
結果は上式どおりゼロになります。

まあ、この手の高等数学になると、計算の前提が違うと
微妙に答えが違うだけでなく、そもそもその結果が通常の
認識と異なっている場合がありますので、簡単な判断は
しない方が良いんですけどね・・・。

例えば、「０と１の間にある実数全体の集合」と「全ての
有理数の集合」では、明らかに「０と１の間にある実数
の集合」の方が大きい、って信じられます？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95

回答No.2

asuncion

無限－無限をやっているわけではありません。
0.999...
は、正確に1です。ただそれだけのこと。