イレコの数式というのは成り立ちますか?＿

質問

y=f(x)のxにyを限りなく代入していくような数式には何か意味があるのでしょうか。y=sinxでは限りなく直線のようになるのかと思いますが，一般的にはどうなのでしょうか?

回答No.3

shkwta · ベストアンサー

フラクタルとの関係は大有りです。
一般には、(1)一定の値に収束(2)周期点に近づく[たとえば、２つの値の間で振動し続ける](3)発散する(4)ある軌道をさまよい続ける、といった場合が考えられます。初期値や数式中のパラメータによってこれらのうちどれになるか、あるいは収束するとしてもどの値に収束するのかを色分けすると、それはきわめて複雑な様相を示します。これはフラクタルと呼ばれるものの一種です。

たとえば、No.2様が示している逐次代入法の一つに、ニュートン法があります。これは微分可能なxの関数g(x)があるとき、方程式 g(x)＝0　を解く数値計算法です。

xに適当な値をいれて、たとえばをx＝5とします。そして、g(x)を計算したら、g(x)＝6 になったとしましょう。また、g(x)の導関数を計算し、g'(x)＝3 と出たとします。すると、点(2,6)でg(x)の接線の
傾きは3ということになります。g(x)を接線で近似すると考えると、接線を延長してx軸に交わる点を求めれば、それは g(x)＝0の解に近いと考えられるでしょう。

この交点のx座標は、
f(x)＝x - g(x)/g'(x)　（ア）
で表されるf(x)です。実際は、g(x)は曲線なのでg(f(x))＝0とはなりません。しかし、f(x)は解に近い可能性があります。そこで、f(x)をあらためてxとし、（ア）を再び適用して次のXを求めます。これを繰り返せば、xがどんどん解に近づくことが期待されます。これがニュートン法の原理です。

しかし、実際は初期値の選び方によっては収束しなかったり、離れたところにある解に収束したりします。xを複素数とするとき、収束するかしないか、どの値に収束するかを複素平面上に色分けすると、きわめて複雑な様相を示します。
http://homepage.mac.com/catincat/java/chaos/
このページにある「ニュートン法のフラクタル」では、方程式z^3-1＝0を解いています。zを複素数で考え、初期値によって、３つある解のどれに収束するかを複素平面で色分けしています。これがネックレスのようなみごとなフラクタル図形になっていることがわかります。また、式を変えて試すこともできます。

この種の図形は、つぎのページが詳しいです。
http://homepage3.nifty.com/SGL/theory..htm

参考URL：

http://homepage3.nifty.com/SGL/theory..htm

補足

sin(shinx)とcos(cosx)の周期が違うように見えるのはご教示の内容と関係がありますか。

回答No.2

kbannai

これは、数値計算の分野では、『逐次代入法』と言われていますね。

非線形方程式を解くための一般的解法は存在しませんが、
根があることがわかっていて、根の近くの値（第１次近似）から
スタートして、根（近似解）を求めていくときに使います。

例えば、x-sin(x)=0 のような場合であれば、

幾何学的には、
y=x
y=sin(x)
の交点ですから、解は、x=0 であることはわかります。

これを数値計算で出すと、

適当な初期値（第１次近似）をx=1とおいてみて、

x{k+1}=sin(x{k}) k=1,2,3,....

で計算すると、x=0 が求まります。

もうひとつ。

x-cos(x)=0 を同様に計算すると、

x=0.739085133

と求まります。

なお、x=g(x)の解（近似解）が求まるための十分条件は、
根の近くで、g(x)の１階微分が
｜g'(x)|<1
であることです。

お礼

私の疑問との関係がわからないのですが，勉強させていただきたいと思います。有難うございました。

回答No.1

ryn

関数によって意味があるものやないものがあるのかもしれませんが，
たしかに，
y = sin(x)
の場合だと
y = 0
に漸近していきますね．

ただ，一般には
y = x
みたいに変化のないものや
y = x^2
のように直線にはならないものなどいろいろです．

お礼

なんとなくフラクタルなどという概念と関係があるのかななどと考えていました。ご教示有難うございました。