整数でない次元があるそうですが・・・

質問

フラクタルなどの領域で整数でない次元があるそうですが，負の次元とか，複素数の次元なども考えられるのですか。空間の逆数を考えて－３次元などと呼ぶことも可能なのでしょうか。

回答No.1

yumisamisiidesu · ベストアンサー

全く分かりませんが、ないと思います
これで終わったら、あんまりですよね
でも、今はないかもしれないけど、
(もしかしたら、定義されてるかもしれませんが)
今後はあるかもしれませんね
どういう理由で必要になってくるか見当もつきませんが

ちなみに、書いたらさん、複素数で満足していたら、
数学についていけませんよ、専門的な大学レベル以上の数学全般では、
複素数なんて、まだまだ具体的な概念です
たとえば、複素数を更に拡張するような四元数というのもあります
だけど、(ある意味において)四元数より広いものは、
構成できないことも証明されているらしいです
そのある意味というのは、実数の多元体という意味です
普通高校や線形代数などで習う数ベクトルは
実数の多元(加)群です

回答No.2

grothendieck

場の量子論では複素数の次元はよく使われます。ループ積分を計算すると紫外発散が起ります。そこで積分を収束させる操作を正則化と呼びます。dimensional regularizationは時空の次元nを解析接続で複素数に拡張するもので'tHooftとVeltmanによって提案されました。時空の次元は４次元でなく複素数であるとして計算し、後で４次元の極限をとるのです。この正則化の利点はゲージ不変性が次元によらず成立すること、計算方法も簡単であることです。QCDのくりこみでは広く使われていると思います。複素数をさらに拡張して４元数にすると可換な数ではなくなります。次元数が可換でないとは意味が分からないようですが、コンヌによって非可換幾何学が作られています。ただ単に座標を非可換にしてみたというようなものではなく、発散の困難を解決するかもしれないとして大変注目されています。次元数が非可換と言うことだってあるかもしれません。

補足

ご教示の内容は、私にとって難しすぎますが、複素数の次元が考えられるのならば、負の次元も考えられるのではないかと愚考したのですが・・・