ガウス平面の次元は２次元なのですか？

質問

平面を２次元とすればガウス平面も２次元と言えるのですか、あるいは複素数の次元を持つというようなことになるのですか。

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

軸は１つで一次元です。

平面と呼ぶ時点で二次元です。

通常の平面は、実数の軸が２つで二次元。

ガウス平面は、実数の軸が１つと虚数の軸が１つで二次元。

お礼

そういうものなのですね。ご回答ありがとうございました。次元はあくまで実数に限るのでしょうか。

回答No.2

31415926

ガウス平面は実数を基礎として考えれば２次元，
複素数を基礎として考えれば１次元です．
(つまり次元という概念は何を基礎として考えるかに
依存しています．)
だからご質問の解答は「どちらの考えもある」ということに
なろうかと思います．

通常は実数を基礎として考える場合が多く
(いわゆる普通の数直線を１次元と考える感覚ですね)，
この場合はガウス平面は２次元となります．しかし代数幾何学など
の分野では複素数を基礎として考える場合もかなりあり，この
場合はガウス平面は１次元であると考えることになります．

たとえばフィールズ賞を受賞された森重文先生の
「３次元代数多様体の極小モデル理論」の業績の
「３次元」と言うのは複素数を基礎として３次元という
意味なので，通常の感覚でいう所の６次元のものを
扱っていることになります．

お礼

同じ平面という言葉でも軸が違えば平面も違うのかなと思ったのですが、勉強させていただきます。ありがとうございました。