2次元空間の写像について教えてください

質問

x-y座標系において、各点の座標が既知である図形を配管断面(２重円断面)へ写像を行いたいのですが、どのように考えればいいのでしょうか？

ご教授ください、宜しくお願い致します。

回答No.1

grothendieck

X-Y平面から二重円断面へ写像は無数にあります。そのためどのような性質の写像が必要なのか分からないと回答することは困難なのですが、ここではconformal mappingについて書くことにします。その理由はconformal mappingが著しい性質を持っており数学でも物理学でも大変重要なものになってきているからです。conformal mapping はスケールは変えるが角度は不変に保つ変換です。f(z)を解析関数としてw=f(z)で変換するとconformal mapping になります。wの実部と虚部はコーシー・リーマンの方程式を満たし、電磁気学や流体力学の問題を解くために昔から用いられてきました。またconformal mapping はリーマンの写像定理などの良い性質を持っており、複素関数論でも重要です。しかしconformal mapping は最近、数学においても物理においても新たな展開を見せ、非常に重要なものになってきています。Theory of everything になる(かもしれない)理論として超弦理論が注目されていますが、conformal 不変性は弦理論の重要な性質として研究されてきました。一方、1984年にBelavin,Polyakov, Zamolodchikovがconformal mapping で不変な場の理論を臨界現象の基礎として定式化しました。相転移の臨界点では相関距離が無現大になるためスケール不変性が現れます。conformal mapping により臨界現象の理論は大きな進歩を遂げました。一方、弦理論ではAdS/CFT対応(Anti de Siter/conformal field theory correspondense)が最も注目されるトピックスの一つになっています。具体的には
　w = exp(iz)
で変換するとz平面の長方形の領域はw平面の円環状の領域になり、conformal mapping なので形はそれほどくずれて見えないはずです。