Maclaurin級数

質問

arcsin(x)
arctan(x)
のMaclaurin級数を求めたいと思い、
てはじめに
（１＋ｘ＾２）＾α
のマクローリン展開を求めようと思いました。
でも式がまとまらず、息詰まってしまいました。
方針として間違っているのでしょうか？

別のアタックの仕方なども含めて教えて下さい。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

arcsin(x)
arctan(x)
の１階微分がそれぞれ (1+x^2)^(-1) と (1+x^2)^(-1/2) になるから
これらの マクローリン展開を求めて項別積分という発想ですね．

arctan(x) の方は brogie さんの方法で解決．

arcsin(x) の方は，二項定理
(1)　　(1+y)^k = Σ_{n=0}^∞ {k(k-1)(k-2)・・・(k-n+1) / n!} y^n
を使えばできます．
今は，k=-1/2，y=x^2 になっていますから，簡単な変形で
(2)　　(1+x^2)^(-1/2) = Σ_{n=0}^∞ {(-1)^n (2n-1)!! / 2^n n!} x^(2n)
になり，項別積分で
(3)　　arcsin(x) = Σ_{n=0}^∞ {(-1)^n (2n-1)!! / 2^n n! (2n+1)} x^(2n+1)
が得られます．
(2n-1)!! = (2n-1)(2n-3)...3・1 です．

(1+x^2)^(-1/2) を何度も微分するとなると，一般項は Bell 多項式で表現できますが
ちょっと面倒そうです．

お礼

また質問です。
(1+y)^k = Σ_{n=0}^∞ {k(k-1)(k-2)・・・(k-n+1) / n!} y^n
のyにx^2を代入して、等式は成り立つのでしょうか？
次数の違うものを代入するのはどうもしっくりこないのですが

回答No.4

siegmund

siegmund です．

> brogieさんのところで分からなかったのは、
> 1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+....
> の等式自体があっているのかどうかです。

無限等比級数の和の公式
1/(1+y) = 1 - y + y^2 -y^3 + ...
の y に x^2 を代入したものです．
そういうわけで，収束のために条件 -1 < x < 1 がついているわけです．
収束円上のふるまいは微妙で，項別積分した arctan(x) の収束条件は
-1≦x≦1 です．

> それと、右辺の積分は x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...とはちがいますか？

しまった，brogie さんの回答を copy & paste したとき気づきませんでした．
すみません，おっしゃるとおりです．
もちろん，brogie さんが誤解しているわけではなくて， ミスタイプです．
つまり，
arctan(x) = x- x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...
です(グレゴリーの級数と名前が付いています)．
この式に x = 1 を代入すると，有名なライプニッツの公式
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...
が得られます．

> d(x^2)/dx=2x
> d(x^4)/dx=4x^3 　
> のような時はただ代入する訳にもいかないのですが・・

最初の式の x の代わりに x^2 と置くと違うんじゃないか，ということですか？
最初の式 x の x に代わりに x^2 としたものは，
d(x^4)/dx じゃなくて d(x^4) / d(x^2) ですよ．

お礼

そうか・・両方をｘで微分していたから違ったのか・・・
ありがとうございます。
収束半径の説明までいただいて。。感謝です。

回答No.3

siegmund

siegmund です．

> 1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+....
> からつかえてしまいました。
> 右辺の分母を(1+x^2)にすると、分子は
> 1+x^2-x^2-x^4+x^4+x^6-x^6-x^8+...　となりますよね

そりゃ，分母を同じにしたら等式なんだから分子も同じになりますよ．
そうじゃなくて，brogie さんが言われているのは
(※)　　d(arctan(x))/dx = 1-x^2+x^4-x^6+....
の両辺を x で積分しなさい(0 から x まで)，ということです．
左辺の積分は arctan(x) - arctan(0) = arctan(x) になり
(arctan(0) = 0 ですから)，
右辺の積分は x-x^3+x^5-x^7/7+... になります．

> (1+y)^k = Σ_{n=0}^∞ {k(k-1)(k-2)・・・(k-n+1) / n!} y^n
> のyにx^2を代入して、等式は成り立つのでしょうか？
> 次数の違うものを代入するのはどうもしっくりこないのですが

ん？
等式なんだから，何代入したってＯＫですよ．
(1+y)^2 = 1 + 2y + y^2 を使って
(1+x^2)^2 = 1 + 2x^2 + x^4 とするでしょ．
同じことです．

お礼

brogieさんのところで分からなかったのは、
1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+....
の等式自体があっているのかどうかです。
それと、右辺の積分は x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...とはちがいますか？

d(x^2)/dx=2x
d(x^4)/dx=4x^3 　
のような時はただ代入する訳にもいかないのですが・・

回答No.1

brogie

arctan(x)はつぎのような方法があります。
d(arctan(x))/dx=1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+....
この両辺を積分して
arctan(x)=x-x^3+x^5-x^7/7+...
(-1<x<1)

arcsin(x)は微分して、テクテク解いていく以外にはないでしょう。
arcsin(x)=x+(1/2)(x^3/3)+(1*3/2*4)(x^5/5)+(1*3*5/2*4*6*7)(x^7/7)+...
(-1<=x<=1)

では、頑張って解いて見て下さい。

お礼

すみません
1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+....
からつかえてしまいました。
右辺の分母を(1+x^2)にすると、分子は
1+x^2-x^2-x^4+x^4+x^6-x^6-x^8+...　となりますよね
右辺が1-x^2+x^4-x^6+...+x^n
とすると上のように考えた時の分子が1+x^(n+2)になってしまいます。
ｎ＝∞までやれば問題ないのでしょうか？