マクローリン級数

質問

log(2+x^2)のマクローリン級数はどのように求められますか？log(1+x)を参考にすることはわかるのですがどう変形したらいいかわかりません。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

No.1です。

ANo.1の補足質問の回答

>収束範囲は -√2<x≦√2 とは違いますか？
いいえ。そうではありません。
x=√2でも、x=-√2でも収束するので収束範囲は
-√2≦x≦√2 あるいは　|x|≦√2　
でANo.1の回答通りです。

log(1+t)のマクローリン展開式の収束範囲は 「-1<t≦1」です。
t=x^2/2とおいた
log(1+x^2/2)のマクローリン展開 式の収束範囲は
「-1<t≦1」のtにt=x^2/2を代入して
「-1<x^2/2≦1」すなわち 「-2<x^2≦2」
xは実数なので x^2≧0 したがって 「0≦x^2≦2」
x^2≦2より　-√2≦x≦√2 (両方に等号が入ることに注意）
すなわち　log(2+x^2)=log(2)+log(1+x^2/2)のマクローリン展開式の
収束範囲は「-√2≦x≦√2」または「|x|≦√2」
となります。
x=√2およびx=-√2のときの収束値はもちろん
log(2+(±√2)^2)=2log(2)
(logは自然対数)
となります。

お礼

ありがとうございます。とてもよくわかりました。

回答No.1

info222_

log(2+x^2)=log(2(1+(x^2/2))=log(2)+log(1+t), ここでt=x^2/2 とおく。

log(1+t)のマクローリン展開
log(1+t)=t-t^2/2+t^3/3-t^4/4+ ... +((-1)^(n-1))(1/n)t^n+ ...
=Σ[n=1, ∞] ((-1)^(n-1))(1/n)t^n , (収束範囲 -1<t≦1)
はお分かりですね。
この展開式を上式に代入すると

log(2+x^2)=log(2)+t-t^2/2+t^3/3-t^4/4+ ... +((-1)^(n-1))(1/n)t^n+ ...
=log(2)+Σ[n=1, ∞] ((-1)^(n-1))(1/n)t^n , (収束範囲 -1<t≦1)
t=x^2/2とxに戻せば
=log(2)+x^2/2-x^4/8+x^6/24-x^8/64+ ... +((-1)^(n-1))(1/(n2^n))x^(2n)+ ...
=log(2)+Σ[n=1, ∞] ((-1)^(n-1))(1/(n2^n))x^(2n) , (収束範囲 |x|≦√2)
と求めるマクローリン展開式が得られます。

お分かり？

補足

ありがとうございます！
収束範囲は -√2<x≦√2 とは違いますか？