『１から５０までの整数の積は、一の位から０がＸ個続く。Ｘを求めなさい。』

質問

高校受験の整数の問題です。

『１から５０までの整数の積は、一の位から０がＸ個続く。Ｘを求めなさい。』

という問題なんですが、私の力では『5の倍数をすべて抜き出し、それに２をかけて１０の倍数をつくることでゼロの数を数える』という方法でしか解けません。

もしももっとエレガントな解法がありましたら教えていただけないでしょうか？　知識レベルとしては、中学3年生まででお願いします。

回答No.1

Quattro99 · ベストアンサー

そういうことでいいんじゃないかと思います。
1*2*3*....*50を素因数分解したときに、2と5がそれぞれいくつ因数として存在するかを考え、そのうちの少ない方と同じだけ10が因数として存在できることになる、ということだと思います。
5の方が少ないことは明らかなので、そっちを数えればいいと思いますが、5を因数として複数持つ数もあるので、そこに注意すれば正解が得られると思います。

お礼

ご回答ありがとうございます☆

素因数分解、そうですね。中学生に説明するのでどういった説明がいいのかで悩んでいたのですが、これで良さそうですね。
ありがとうございました。

回答No.3

nitscape

＞『5の倍数をすべて抜き出し、それに２をかけて１０の倍数をつくることでゼロの数を数える』

実際にやってみると、
5の倍数は
　5,10,15,20,25,30,35,40,45,50
2をかけると
　10,20,30,40,50,60,70,80,90,100
0の数を数えると【11コ】になります。

でも実際に1～50まで掛け算をして計算すると
30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000
になります。0の数を数えてみると【12コ】になります。

つまり
＞『5の倍数をすべて抜き出し、それに２をかけて１０の倍数をつくることでゼロの数を数える』
だと正しい答えが求まりません。

理由は、5の倍数として25（=5x5）があるからです。2をかけると50ですが、さらに2をかけると100になり、0が2つになるからです。

０の数は因数に「10」がいくつあるかによって決まります。ここで10というのは2x5ですが、2の数は5よりも多くありますので実際のところ「因数としての5の数を数える」ことで答えがでます。

5を因数として持つ数は5の倍数ですのでまずは5の倍数をすべて取り出します。

5の倍数は
　5,10,15,20,25,30,35,40,45,50

因数を数えるため5で割ります。

　1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

ここまでで10コですね。さらに5の倍数があるので取り出します。

5の倍数は
　5,10

因数を数えるため5で割ります。

1,2

今回は2つです。ここで残った数には5の倍数がないので、これで5の因数の数は10+2=12個と計算することができました。

この問題のミソは25と50の存在に気づくかという点ですね。25には気づいても50には気づかない人ことがあるかもしれません。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございました。中学生に教えるには、あいまいな解き方だな～、と悩んでいたのですが他にはなさそうですね。

ご回答ありがとうございました☆

回答No.2

rmz1002

良くある問題ですね。
その方法以上に簡単に出る方法はないです。

お礼

簡潔なご回答ありがとうございました。