微分方程式の数値解法 １段解法収束性の証明

質問

微分方程式の１段解法の収束性を示す過程で、
h：刻み幅
L：リプシッツ条件を満たす定数
としたとき、(1+hL)<e^(hL)という式が出てきていました。
どの本を見てもこの式が使われているのですが、どうしてこの関係が言えるのかがわかりません。
まだ数値解法を勉強し始めたばかりで知識が足りないだけかもしれませんが、分かる方、ぜひ教えてください！
お願いします（＞＜）

回答No.1

payForward · ベストアンサー

両辺をhの関数とみて、微分して増加率を考えてみるとわかると思います。

丁寧に書きますと

とりあえず、説明のために両辺をhの関数とみて
f(h) = (1 + hL)
g(h) = e^(hL)
とおいてみます。

まず、
f(0) = 1
g(0) = 1
となります。

また、両辺を微分すると
f'(h) = L
g'(h) = L * e^(hL)
となります。

hは刻み幅なので、0に近い正の数だと思います。
h > 0 のとき、
L > 0 ならばe^(hL) > 1 なので、L < L * e^(hL)
L < 0 ならばe^(hL) < 1 なので、L < L * e^(hL)
より
f'(h) < g'(h)
がいえます。

これは、右辺の方が左辺より増加率が高いことを示していて、h = 0のとき値が同じなので
h > 0 ならば
f(h) < g(h)
がいえることになります。

お礼

分かりやすい回答ありがとうございます！
ずっと対数取ったりしていろいろ考えていたのですが、これでやっと謎が解けました（＾＾）
どの本にも詳しく書いてなかったのでとても助かりました。

回答No.2

tomtom_

いいところに気づいたなあと思いいました．

payForwardさんの説明で十分だと思いますが，もうちょっと数値解析っぽく説明してみます．

e^xを多項式展開すると，

e^x = 1 + x + 1/2 x^2 + …

となります．そしてxとしてhLを取りますと，

e^(hL) = 1 + hL + 1/2 (hL)^2 + …

となります．hとLは正なので，e^(hL)は
1+hLよりも必ず大きくなることが分かるのではないでしょうか．

お礼

こういう考え方もできるのですね。
なかなか思いつきませんでしたが、この方法だと式の見た目だけですぐにわかるのでとても分かりやすいです！
ありがとうございました。