次の微分方程式の解法プロセス

質問

次の画像の微分方程式の解法過程を教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.3

jcpmutura · ベストアンサー

(1)
xdx-(e^x)dy=0
xdx=(e^x)dy
xe^{-x}=dy/dx
dy/dx=xe^{-x}
両辺を積分すると
y=∫xe^{-x}dx
↓e^{-x}を部分積分すると
=-xe^{-x}+∫e^{-x}dx
=-xe^{-x}-e^{-x}+C
=-(x+1)e^{-x}+C

(2)
y'=tanxcoty
両辺にtanyをかけると
(tany)y'=tanx
両辺をxで積分すると
↓∫(tany)y'dx=∫(tany)dyだから
∫(tany)dy=∫(tanx)dx
∫(siny/cosy)dy=∫(sinx/cosx)dx
t=cosxとおくと
dt=-sinxdx
∫(sinx/cosx)dx=-∫(1/t)dt=-log|cosx|+c1
xをyに置き換えると
∫(siny/cosy)dy=-log|cosy|+c2
だから
-log|cosy|+c1=-log|cosx|+c2
両辺にlog|cosy|-c2を加えると
c1-c2=log|cosy|-log|cosx|
c1-c2=log(|cosy/cosx|)
↓c3=c1-c2とすると
c3=log(|cosy/cosx|)
log(|cosy/cosx|)=c3
|cosy/cosx|=e^{-c3}
cosy/cosx=±e^{-c3}
↓C=±e^{-c3}とすると
cosy/cosx==C
cosy=C*cosx
y=arccos(C*cosx)

(3)
xy'+2y=e^{3x}
両辺にxをかけると
y'x^2+2xy=xe^{3x}
両辺を積分すると
∫(y'x^2+2xy)dx=∫xe^{3x}dx
∫(y'x^2)dx+∫(2xy)dx=∫xe^{3x}dx
↓y'を部分積分すると
yx^2-∫(2xy)dx+∫(2xy)dx=∫xe^{3x}dx
yx^2=∫xe^{3x}dx
↓e^{3x}を部分積分すると
=xe^{3x}/3-∫(e^{3x}/3)dx
=xe^{3x}/3-e^{3x}/9+C
=(x/3-1/9)e^{3x}+C
∴
y={(3x-1)/(9x^2)}e^{3x}+C/x^2

(注)
なおC/x^2は定数ではありません
C/x^2をCとしてしまうと
y=(3/x-1/x^2)e^{3x}/9+C
xy'+2y=e^{3x}+2C≠e^{3x}
となってC≠0のとき解でなくなります

(4)
y'=x/y+y/x
y/x=t
として
両辺にxをかけると
y=tx
微分すると
y'=xt'+t=1/t+t
両辺からtを引くと
xt'=1/t
両辺にxをかけると
tt'=1/x
両辺を積分すると
∫tdt=∫(1/x)dx
t^2/2=log|x|+c
(ただし|x|≧e^{-c}とする)
両辺に2をかけると
t^2=2(log|x|+c)
↓両辺を1/2乗すると
t=±√{2(c+log|x|)}
↓t=y/xに戻すと
y/x=±√{2(c+log|x|)}
両辺にxをかけると
y=±x√{2(c+log|x|)}
↓C=e^c>0とすると
∴
y=±x√(2log|Cx|)

(注)√は(2log|Cx|)全体にかかります

(5)
y'=-(3x+y-5)/(x-y+1)
y'=1+4(1-x)/(x-y+1)
t=x-y+1
として
これを微分すると
t'=1-y'
y'=1-t'
これを微分方程式に代入すると
1-t'=1+4(1-x)/t
両辺から1を引くと
-t'=4(1-x)/t
両辺にtをかけると
tt'=4(x-1)
両辺をxで積分すると
↓∫tt'dx=∫tdtだから
∫tdt=4∫(x-1)dx
t^2/2=2x^2-4x+c
(ただしc≧2とする)
t^2/2=2(x-1)^2+c-2
↓両辺に2をかけてC=2(c-2)≧0とすると
t^2=4(x-1)^2+C
↓両辺を1/2乗すると
t=±2√{(x-1)^2+C}
↓t=x-y+1に戻すと
x-y+1=±2√{(x-1)^2+C}
↓両辺にy-[±2√{(x-1)^2+C}]を加え左右を入れ替えると
y=x+1±2√{(x-1)^2+C}

回答No.4

Water_5

(1)xdx-e^xdy=0
dy/dx=x/e^x=xe^(-x)

y=-x^e^(-x)+ ∫e^(-x)dx=-x^e^(-x)+(-1)e^(-x)+C
=-(1+x)e^(-x)+C

C=｛C1=1,C2=2,C3=-1、C4=-2｝

回答No.2

178-tall

参考 URL
　　↓
2　1 階微分方程式

参考URL：

http://www.oit.ac.jp/is/~shinkai/lecture/diffeq09b/deq2009_07-16.pdf

回答No.1

bran111

(1)xdx-e^xdy=0
dy/dx=x/e^x=xe^(-x)
Y=∫xe^(-x)dx=[x(-1)e^(-x)]- ∫(-1)e^(-x)dx (部分積分)
=-x^e^(-x)+ ∫e^(-x)dx=-x^e^(-x)+(-1)e^(-x)+C
=-(1+x)e^(-x)+C

(2)dy/dx=tanxcoty=tanx/tany
tanydy=tanxdx
(siny/cosy)dy=(sinx/cosx)dx
-d(cosy)/cosy=-d(cosx)/cosx
dlogf/df=1/f　⇒　dlogf=df/f
f=cosy, f=cosxとみれば」
d(cosy)/cosy=d[logcosy], d(cosx)/cosx=d[logcosx],
dlog(cosy)=dlog(cosx)
log(cosy)=log(cosx)+C
cosy/cosx=C'
y=arccos(C'cosx)

(3)xdy/dx+2y=e^(3x)
両辺にxをかけると
x^2dy/dx+2xy=xe^(3x)
d(x^2y)/dx= xe^(3x)
x^2y=∫xe^(3x)dx=[x(1/3)e^(3x)]- ∫(1/3)e^(3x)dx (部分積分)
=xe^(3x)/3-e^(3x)/9+c
y=(3/x-1/x^2)e^(3x)/9+C

(4)dy/dx=y/x+x/y
u=y/x　⇒　y=ux
dy/dx=xdu/dx+u=u+1/u
xdu/dx=1/u
udu=dx/x
u^2/2=logx+C
u=√2(logx+C')=y/x
y=(√2)x(logx+C')

(5)dy/dx=-(3x+y-5)/(x-y+1)=(y+3x-5)/(y-x-1)=1+4(x-1)/(y-x-1)
u=y-xとおく。
dy/dx=du/dx+1=1+4(x-1)/(u-1)
du/dx=4(x-1)/(u-1)
(u-1)du=4(x-1)dx
u^2/2-u=4(x^2/2-x)+C
u^2-2u=4(x^2-2x)+C’
(u-1)^2-1=4(x-1)^2-1)+C’
(u-1)^2=4(x-1)^2+C’’
u-1=±2√[(x-1)^2+C’’’]
y-x-1=±2√[(x-1)^2+C’’’]
y=x+1±2√[(x-1)^2+C’’’]