Z変換の「Z」とは何？

質問

数学の関数名は人名や機能などから名付けられているものが多いようですが、「Z変換」の「Z」は何から来ているのでしょう？

回答No.1

takana049 · ベストアンサー

複素平面はz平面とも呼びます．また複素数x+iyをzと表記（すなわちx+iy=z と表記）したりもします．すなわち一般に，複素数はzと表記されます．

一方，z変換とは，離散フーリエ変換の定義式の中のexp(iTω)（Tはサンプリング周期、ω は実数（角周波数））をzとおいたものです．すなわち z=exp(iTω) です．

したがって問題は，なぜ exp(iTω) をzとおくことにしたのかということになります．

ここからは私の推測ですが，exp(iTω) は，複素平面における単位円周上の点という複素数を表します．したがって，そのような複素数ということで「z」とおくことにしたのだと思います．

なお必要があれば，例えば下記のURLも参考になります．

複素数や複素平面については，
http://www.crossroad.jp/cgi-bin/form.cgi?target=http://www.crossroad.jp/mathnavi/math-b/fukusosuu/fukusoheimen.html

離散フーリエ変換の定義式については，
http://www-ise2.ise.eng.osaka-u.ac.jp/~iwanaga/study/dsp/dft.html#discrete

z変換の定義式については，
http://www-ise2.ise.eng.osaka-u.ac.jp/~iwanaga/study/dsp/z.html

お礼

ありがとうございます。

単位円周上の点だから「z」とおくというのは、
円周を表す式は
z^2 = x^2 + y^2
と書くものだからでしょうか。

回答No.2

takana049

>単位円周上の点だから「z」とおくというのは、円周を表す式は z^2 = x^2 + y^2 と書くものだからでしょうか。

私の先の回答は，単位円周上の点だから「z」とおいたというよりは，（単位円周上の点である）複素数だから「ｚ」とおくことにしたのだと言うつもりで書きました．

しかし，言われてみれば，確かに，複素平面上で円周を表す式は z^2 = x^2 + y^2 と書かれることも多いですから，仰るようにむしろそれが理由かも知れませんね．

ｚ変換が定義（提案）された経緯をご存知の方が答えて下さればはっきりするのですが，いずれにしても，フーリエ変換やラプラス変換と言うような発明者の名前から来ている訳ではないと考えて良いのではないでしょうか．