z変換ができません

質問

次の信号のZ変換を求めよ。
f[k]={1,0,1/3,0,1/9,0,1/27,0,・・・}
というものなんですが、どのようにしてz変換を行えばいいのかわかりません。
どなたか過程も詳しく教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

f[k]のｚ変換F(z)の定義は

F(z)=Σ_{k=0}^∞f[k]z^{-k}

です．今の場合n=0,1,2,・・に対し，

f[2n]=1/3^n=3^{-n}
f[2n+1]=0

ですから，

F(z)=Σ_{n=0}^∞f[2n]z^{-2n}

=Σ_{n=0}^∞3^{-n}z^{-2n}

=Σ_{n=0}^∞{1/(3z^2)}^n

=1/(1-1/(3z^2)) ←無限等比級数の公式

=3z^2/(3z^2-1)

ただし，zは収束条件より

|1/(3z^2)|=(1/3)|z|^{-2}<1
|z|^{-2}<3,|z|^2>1/3

すなわち

|z|>1/√3

となります．