微分の特解

質問

xy''-y'=xlogx
x^2y''-4xy'+6y=x^3

の問題の一般解は分かるのですが、特解の答えがよく分かりません。
求め方を教えてください。

回答No.1

eliteyoshi

2問ともオイラーの微分方程式ですね。
y''=d^2y/dx^2,y'=dy/dxとします。

1.
xy''-y'=xlogx
x^2y''-xy'=x^2logx
ここで、x=e^tとすると、
(d^2y/dt^2)-2(dy/dt)=t・e^(2t)　・・・(A)
となります。式(A)の同次方程式の一般解は
y=A+Be^(2t) (A,Bは任意定数)
です。さらに微分演算子D=d/dtを使って特殊解ηを求めます。

η=[1/{D(D-2)}]t・e^(2t)
=e^(2t)[1/{D(D+2)}]t
=(1/2)e^(2t)(1/D)[1/{1+(1/2)D}]t
=(1/2)e^(2t)(1/D){1-(1/2)D}t
=(1/2)e^(2t)(1/D)(t-1/2)
=(1/2)e^(2t){(1/2)t^2-(1/2)t}
=(1/4)e^(2t)t(t-1)

よって、式(A)の解は
y=A+Be^(2t)+(1/4)e^(2t)t(t-1)
であり、x=e^tより
y=A+Bx^2+(1/4)x^2{log x(log x-1)}
となります。

2.
x^2y''-4xy'+6y=x^3
この問題も先の問題と同様にx=e^tとすると、
(d^2y/dt^2)-5(dy/dt)+6y=e^(3t)　・・・(B)
となります。式(B)の同次方程式の一般解は
y=Ae^(2t)+Be^(3t) (A,Bは任意定数)
です。特殊解ηは、

η=[1/{(D-2)(D-3)}]e^(3t)
=e^(3t)(1/D){1/(D+1)}・1
=e^(3t)(1/D)(1-D)・1
=e^(3t)(1/D)・1
=t・e^(3t)

よって、式(B)の解は
y=Ae^(2t)+Be^(3t)+t・e^(3t)
であり、x=e^tより
y=Ax^2+Bx^3+x^3(log x)
=Ax^2+x^3(B+log x)
となります。