流れ関数について

質問

今流れ関数がわかっていて、ψ＝４ｘｙです。このとき、点（１/２，２）、
点（１，１）における圧力差を求めたいのですが本で調べてもよくわかりません。
２次元平面流れ、密度はρです。考え方を教えてください。

回答No.1

noname#1499 · ベストアンサー

二次元完全流体であることと、密度が一定だと仮定して解きます。
速度を（ u , v ）圧力をPと置く。Ψ＝４ｘｙおよび流線関数の定義から、（ u , v ）は、

u = ∂Ψ/∂ｙ = 4x (1)
v = - ∂Ψ/∂x = -4y (2)

これは同時に連続の式を満たす。

∂u/∂x + ∂v/∂y = 4 - 4 = 0

二次元完全流体の方程式は、u及びｖが時間に依存していないことに注意して、

u∂u/∂x + v∂u/∂y = -1/ρ∂P/∂x (3)
u∂v/∂x + v∂v/∂y = -1/ρ∂P/∂y (4)

(1),(2)を(3),(4)式に代入して計算してPに関する偏微分方程式として整理すると、

∂P/∂x = -ρ16x (5)
∂P/∂y = -ρ16y (6)

(5)式をｘに関して積分して右辺の積分定数をA(ｙ）とする

P（x,y）= -ρ8x^2 + A(y) (7)

(7)式のPを(6)に入れてA（y）に関する常微分方程式を得る。

dA/dy = -ρ16y

積分して積分定数をCとおくと

A(y) = -8ρy^2 + C (8)

(8)式を(7)式に入れて圧力関数P(x,y)が求まる。すなわち、

P(x,y) = -8ρ( x^2 + y^2 ) + C (#)

(#)より（１，１）と（１/２、２）における圧力差は絶対値をとって、

ΔP = | -8ρ( 1 - 1/4 -4 ) |
= 26ρ

お礼

ありがとうございました。よくわかりました。
流体初心者なのに9月に大学院入試で使わなければならずかなり四苦八苦していたので助かりました。

回答No.2

siegmund

inukoro さんの書かれているとおりと思いますが，
最後のところ，(#)に数値を代入すると
ΔP = | -8ρ( 1 + 1 - 1/4 -4 ) | = 18ρ
ですね．
揚げ足取りみたいで恐縮です．

以下は，本質的に inukoro さんと同内容ですが...

[1]　　u = 4x ，v = -4y
なので，渦度ωz は
[2]　　ωz = ∂v/∂x - ∂u/∂y = 0
である．
したがって，今の状況は，２次元の定常(時間に依存しない)渦なし流で，
ベルヌーイの定理
[3]　　(1/2)V^2 + (P/ρ) + U = C'　　　(C' は定数)．
が全流場について成立する．
V は速度ベクトルで，V = (u,v)，　V^2 = u^2 + v^2．
U は外場のポテンシャルだが，今は外場がゼロなので U = 0 とおいて構わない．
したがって，
[4]　　P = - (ρ/2)(u^2 + v^2) + C = -8ρ( x^2 + y^2 ) + C
で(C = ρC')，inukoro さんの(#)と同じになる．

なお，ベルヌーイの定理[3]は，定常，渦なし，非圧縮性，なら成立します．
圧縮性のときは，ちょっと修正が必要です．
重力場中でしたら
[5]　　P + (1/2)ρV^2 + ρgz = 定数
という有名な式になります．

お礼

別解ありがとうございます。考え方の幅が広がりました。