速度ポテンシャルと流れ関数

質問

二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が

u=2xy
v=x^2-y^2+1

であるとき、速度ポテンシャルφ、流れ関数ψの
求めからが分かりません。

ぜひ、教えてください。

回答No.2

tomtak · ベストアンサー

W(z)=φ+iψ とおくと、

dW/dz = u-iv
　　　= 2xy-i(x^2-y^2+1)
　　　= -i(z^2+1)

より、両辺をzで積分して

W(z)　= ∫(-i(z^2+1))dz
　　　= -i(z^3/3 + z) + const.
　　　= -i((x+iy)^3/3 + (x+iy) + C0+iC1
　　　= x^2y-y^3/3+y+C0 + i(xy^2-x^3/3-x+C1)

よって

φ　= x^2y-y^3/3+y+C0
ψ　= xy^2-x^3/3-x+C1

となります。

お礼

わかりやすい回答ありがとうございます。

回答No.3

KENZOU

tomtakさんが既にご回答されていますので、以下、補足の蛇足。
＞二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が
u=2xy
v=x^2-y^2+1
であるとき

速度ポテンシャルφは次式で定義される(←流体力学のテキスト参照）。
　u=2xy=∂φ/∂x　　(1)
　v=x^2-y^2+1=∂φ/∂y　(2)
一方、流れ関数ψは次式で定義される。
　u=2xy=∂ψ/∂y　　(3)
　v=x^2-y^2+1=-∂ψ/∂x　　(4)

●速度ポテンシャルφは(1)，(2)より
　φ=x^2y+C(x)，C(x)はxだけの関数　　(5)
　φ=x^2y-(1/3)y^3+y+C(y)，C(y)はy〃　(6)
(5)(6)は恒等的に等しいことから
　C(x)=0，C(y)=(1/3)y^3-y　を得る。これを(5)に代入して　φ=x^2y。

●流れ関数ψもまったく同様にして
(3)より　ψ=xy^2+C(y)，C(y)はyだけの関数　(7)
(4)より　ψ=-(1/3)x^3+xy^2-x+C(x)，C(x)はx　〃　(8)
(7)と(8)は恒等的に同じだから
　xy^2+C(y)=-(1/3)x^3+xy^2-x+C(x)　(9)
これから(x,yの項それぞれを比較する）
　C(x)=(1/3)x^3+x，C(y)=0　(10)
が得られる。(10)を(7)に代入すると流れ関数は　ψ=xy^2。

お礼

授業では習わなかった回答法で、参考になりました。
ありがとうございます。

回答No.1

SteveStrawb

このような流体力学の場合、偏微分でいっぱいの式をここにテキストベースで書くのは無理なので、ヒントだけ書きます。
ナビエ・ストークスの式と、連続の式の定義にu,vを叩き込んでみてください。

補足

早速の回答ありがとうございます。
複素ポテンシャル　dw/dz=u-ivから求めることはできませんか？