実際の負帰還回路 並列－直列帰還

質問

普通？の電子回路の入門書では
トランジスタ(バイポーラTr, MOSFET等)による実際の負帰還回路で増幅量Aと減衰量Hを求めるとき例えば，
入力電圧v_1=…
出力電圧v_2=…
としておいて式変形により例えば
v_2/v_1=-A/(1+AH)
というふうに導いて
AとHは式を変形してから分かるものですよね．

でも，ある本では例えば並列－直列帰還の場合，
帰還するループを切断してその帰還する部分の入力インピーダンスR_(Hi)と出力インピーダンスR_(Ho)を求めるという要領でやっています．
具体的には
R_(Hi)：v_2=0とおいて入力側からループの中へ見て求める．
R_(Ho)：入力側のデバイスを除去して出力側からループの中へ見て求める．
これらを求めたら帰還ループを切断して
入力側に並列にR_(Hi)を出力側にR_(Ho)を並列に取り付けて
このループを切断した回路では区別のために'をつけると
オープンループのゲインA_(open)=v_2'/v_1'
H=v_f'/v_2'
で求める事ができ
クローズドループのゲインは
A_(closed)=v_2/v_1=A_(open)/{1+A_(open)H}
で求める事ができるとなっています．
どうしてこんなふうにして求められるのかこんな単純に求められるのか怪しくその理論がよく分からなくてずっと考えているのですが，結局意味不明なので質問しました．
電子回路に詳しい方ご教授よろしくお願いします．

回答No.10

Teleskope · ベストアンサー

補足を拝見して、何が掴めてないかが分かってきました。

１．
　補助的な前段階です。最初に「素のアンプ」がありまして、これに帰還を施すとします。(余談１項)
　帰還の手段は「出力電圧をM1ソースに直列に入れる」とします。帰還路に絶縁アンプを使えば理想型 Gain=μ/(1+μβ) のまんまで話は終わりですね。そのバッファ無しで挑む話です。
M1ソースを直接M2ドレインに付けてもいいですが 帰還量を設定したいので、下図Hの抵抗分圧をつかうことにします。（Hの導入、定義です。ほかの構成手段もいっぱいありますが これを使います、という意味だと思ってください。）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┯　　　　┯
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　R3　　　 R4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜　 S←┘
　　　 ┏━━━━━┓　　　　　　 D┴─G
　　─┨素の増幅器┠─　　──G　　　D┬─
　　┌┨　利得　A　 ┠┐　　┌─S　　　　RL
　　┷┗━━━━━┛┷　　┷　　　　　　┷

　　　　　 ┏━━━┓　　　　　 ──┬─R2─
　　出 ─┨帰還網┠─ 入　　　　　R1
　　　　┌┨利得 H┠┐　　　　┌─┴───┐
　　　　┷┗━━━┛┷　　　　┷　　　　　　　┷

２．
　帰還理論は、能動受動にかかわらずすべて下図のモデル（これはテブナンの定理レベルの基本）で表して式を建ててますよね、　ですから 上記 R1,R2 の逆Ｌ型回路もモデル化して Zi=R1+R2、Zo=R1//R2、G=R1/(R1+R2) です。　オープンループ等価回路のR1やR2はナマミの姿ではありません、モデル化された下図のZiやZoです、M1側のR1だけを取り去った場合‥なんてのは有り得ませんので。

　　　　　　┏━━━━━━┓
　Ｖin──╂┐　　　┌- Zo╂── Vout
　　　　　　┃ Zi　　(ＧＶin)　┃
　　　┌--╂┘　　　└──╂─-┐
　　　┷ 　┗━━━━━━┛　　 ┷

　このモデル化に従ってない構成物を持ち込んで いくら考えても 標準的な式とつながらないのは想像できますよね。

３．
上記ブロックをM1のソースに（直列に）入れました。

　　　　　　　┏━━━━━┓
　V1───┨素の増幅段┠┬─ V2
　　 ─┐┌┨　利得　A　 ┠─┬
　　　　｜｜┗━━━━━┛｜｜
　　　　｜｜　 ┏━━━┓　 │｜
　　　　｜└─┨帰還段┠─┘｜
　　　　└──┨利得 H┠──┘
　　　　　 　 　 ┗━━━┛

クローズドループ等価回路に対応する実回路。

　　　　　　　┯　　　　　　┯
　　　　　　　R3　　　　　　R4
　　　　　　　│　　　 S←┘
　　　　　　D┴──-G
　V1 ──G　　　　　D─┬─ V2
　　　　　　S→┐　　　　 │
　　　　　　　　 ├- R2─┤
　　　　　　　　 R1　　　　 RL
　　　　　　　　 ┷　　　　 ┷

　普通、この回路を出発点として話が展開されてると思います。

４．
ここで 前回書いた『抽象化した帰還理論 Gain =μ/(1+μβ)の形に合わせるように式を立てると開ループ利得A-openは‥』の解説が入って、下図のようになります。なぜこんな切り方になるかは A_openの式からの要請なんですね、式には抵抗分圧Jと抵抗分圧Kがかかってる、その通りに構成したのが下図です。(余談4項)

　　　　　 ┏━━━━━┓
　───┨素の増幅段┠┬─
　─┐┌┨　利得　A　 ┠─┬
　　 ｜｜┗━━━━━┛ |　|
　　 ｜｜┏━　　　　 ━┓│｜
　　 ｜└┨Ｚｏ　切　 Ｚi ┠┘｜
　　 └─┨ 　 　断　 　 ┠─┘
　　 　 　 ┗━ 　 　　 ━┛
　　　　切断は 伝送量G=0 に対応

オープンループ等価回路に対応する実回路。
これは、３項の実回路をいじくったのではなく、２項のモデル図を左右に切断した姿を「実際に作ってみました」という回路です。

　　　　　　　┯　　　　　　┯
　　　　　　　R3　　　　　　R4
　　　　　　　│　　　 S←┘
　　　　　　D┴──-G
　　　──G　　　　　D┬─┬─
　　　　　　S→┐　　　RL　 R2
　　　　　　　　 ├┐　 ┷　 ｜
　　　　　　　　R1 R2　　　　R1
　　　　　　　　 ┷┷　　　　 ┷
　　　　　　切断で Vf1’と Vf2’は完全別個。

　余談；
　１項；
本来は「帰還が掛かってる状態の対象物」を読み解く力を養成する所なので、1項は言わば自転車の補助輪です。この論法が正攻法だとか 現実のシステムでも常に補助輪が用意されてるはずだとは決して思わないでください、帰還routeは１本だけとは限りません。　あなたは「なぜこうするのか」の意味づけを欲するようなので話を工夫してみました。
（なので Remembering that H is defined as the gain from the output back to the input mixing variable, vf,‥とはちょっとニュアンスが違ってしまったかもです。）

　２項；
あなたの補足を読んで、R1R2の直列並列の理由を「どうやってオープンループ等価回路から‥」に求めてるのだと分かって、あ、自分も最初はそうだったかも?と思い当たってこの項を書きました。　繰り返しますが、オープンループ等価回路でのR1やR2はナマミの姿ではありません、モデル化されたZiやZoです。２カ所の役職を兼務してます。（基本を釈迦に説法だったらごめんなさいです。）

　４項；
ここ重要です、私の説明をスルスル読んだだけでは身に付かない所なので 自分で別構成をあれこれ書いて見てください、例えば、最初に「素のA」だけに入ってその後ろに「分圧ブロックＪ」、「分圧ブロックＫ」とつながってる構成を書いて見ると、トータルのゲインは AJK で合ってますが Ri が2カ所に居ますね、標準構成の他に余計な構成物が必要ということです。そうやっていくと、図の構成しかないことが分かるはずです、ここ自分で納得しないと身に付きません。接続がクネクネ曲がってることに惑わされずに回路=グラフとして見てください。悟ってしまえばひどく単純な話ですから。
なお、決して実回路がどうとか考えないように。

　 No9の補足；
M2のrdでしょうか、読んだ限りでは 全体の理解には関係ない（どうやら後で付け加えたような）ですし、これを保留にして全体を理解してから改めて立ち戻れば文意が解読できると思います。　その祭、rdを姑息に突っ込もうとしないで（慣れればできますが）、作法を身に着けるつもりで rdが参加すればどこのモデルがどうなるか‥で追ってください。
その祭、心しておくべきは「実回路が主導権を持った世界ではない、2項のモデル図が主導権を持っており、実回路はそれを忠実にいわば「実モデル化」する立場だ」です。

お礼

回答ありがとうございます．記述の美しさ，説明の詳しさ尊敬に値します．感激です！

A)
１．のように素のアンプと逆L型の減衰器の部分を別々にしておいてからドッキングするという考え方は非常に分かりやすいです．『減衰器の部分だけ取り出してそこを鳳・テブナンの等価回路で置き換えてから入れ直す』と考えるともやもやしてた曖昧さが結構解けた気がします．なぜH=R1/(R1+R2)になるかも理解できます．vf1',vf2'の部分はこの取り出した部分であって素のアンプとは独立して考えると考えればいいような気がするのですが，そういうことでいいでしょうか？僕が理解力のなさのため勘違いして理解していなければいいのですがf^^;

B)
>４項；
>ここ重要です、私の説明をスルスル読んだだけでは身
>に付かない所なので 自分で別構成をあれこれ書いて見>てください、例えば、最初に「素のA」だけに入ってそ>の後ろに「分圧ブロックＪ」、「分圧ブロックＫ」と
>つながってる構成を書いて見ると、トータルのゲイン
>は AJK で合ってますが Ri が2カ所に居ますね、標準
>構成の他に余計な構成物が必要ということです。
例えば，No.211のような構成を作ってみたのですが，一度見ていただけますか？TeleskopeさんはJ→Kの順番でおっしゃられましたが，実際に作ってみると素のアンプのRoは位置を変えれないと思うので，K→Jの順番で作りましたがいいのでしょうか？Teleskopeさんが意図されていることと僕の理解は一致しているでしょうか？

C)テキストはやはり"In this case, RHi is equal to R2."となっておりRHi=R2を主張していますが，僕はTeleskopeさんの理論の方がすんなり受け入れられるし，理論的な面から見てRHi=R1//R2であるはずだと思うのですが，これはおそらく著者が勘違いしているのではないかと思うのですが，どう思われますか？

補足

No.211のブロック図では
K = 分圧比 = RHo/(Ro+RHo)
と定義しています．
#8の回答で
>K = 分圧比 = Ro/(Ro+RHo)
と定義されていましたが，おそらくミスだと思うので，勝手に変更させて頂きました．

回答No.12

Teleskope

どうも、レスの間があいて長丁場になってしまいました。一応大筋は掴めたようですね、あとは熟成期間を経て自分のものになると思います。　それから、参考図面をアップロードしていたサイトですが（廃墟だと聞いてたんですが）住人からクレームが出たようですので、今後もし参考画像を使う場合はどこか別々の場所にしましょう、私も替えることにします。（なお自分自身のサイトはここのルール（個人の開示禁止）で使えません。2chはすぐ流れるのでダメですね。）

お礼

本当に長々とお付き合いいただきありがとうございました。なんかインテリアのところなのに僕の回路図をはじめ関係ないものがいろいろ貼られていますねf^^;

回答No.11

Teleskope

１．
>>　No.211の構成を作ってみたのですが，J→Kの順番ではRoは位置を変えれないので <<

　‥変えられないので Roと同じ値のものを追加する必要があります（構成によってはバッファが必要にもなります）、あなたの「KJの順番で作りました」もRiは（位置を変えられないので）同じ値のものを追加ですね。このように直列帰還のA_openの式の実現法は直列帰還でなくともできる、何かしら増えてしまうけど出来る。（組み替えれるのだと分かって欲しいので無駄っぽいことを書きました。後記の３項に連なります。）

>>　"In this case, RHi is equal to R2." <<
　これも質問のひとつでしたね、RHi,o の i,oや1,2の番号が常用してる表現と逆なので煩わしいですが‥‥２端子対のパラメータ表示の話をします；『RHi：v2=0とおいて入力側から見たインピ』のV2は帰還ブロックHの入力なので常用してる表現ではV1=0です、その条件があるのはyパラかgパラです（何かの本で確認してください）。なので その段落はMOS回路の説明で yパラで話をしてるのかな？とか、R1が電流源の場合の話でR1>>R2だからRHi=R1//R2≒R2 なのか？とか‥と書きながら占いか推理クイズをやってる気分です。
　もしyパラなら、帰還理論の方はZパラで統一してますから違って当然ですし。　ところで気になるんですが、その記述の後でRHi=R2が他の式に使われてるんでしょうか。

２．
（No.8の補足欄）
>>　H = vf'/v2' = R1/(R1+R2)
>>　since the H network is simply a voltage divider relationship. ということですが，抵抗分割は途中で電流が分岐していてできないはずだし <<

　これ見過ごしてました、「できないはず」は困ります。ｗ

　　V1 ─R1─┬── V2
　　　　　　　　 R2　　　解放
　　　　　　　　 ┷　　　状態　　
　　H = R2/(R1+R2)
　　V2 = V1R2/(R1+R2)　　…(原形)…(1)

　上記なら抵抗感が無いが、V2側から電流が入って来れば成り立たない気がするのですね？‥予断せずにやってみましょう、

　　　　　　　　　|　電流源
　　　　　　　　(↓) Ｉ
　　V1 ─R1─┼── V2
　　　　　　　　 R2　　　解放
　　　　　　　　 ┷　　　状態

　V2のノードでキルヒホフ電流則の式は
　　(V2/R2)+((V2-V1)/R1)-I = 0
解くと
　　V2 = V1R2/(R1+R2) ＋ Ｉ(R1//R2)　…(2)
　　　　= 原形＋電流×抵抗並列　…(3)
です、
足し算の形で加わるようですね。原形はそっくり残ってますよ？
続いて、電流源でなく電圧源が付いた場合をやってみましょう、

　　　　　　　 V3
　　　　　　　 ｜
　　　　　　　 R3
　V1 ─R1─┼─ V2
　　　　　　　 R2
　　　　　　　 ┷

　これもノードV2でのキルヒホフ電流則の式
　　(V2/R2)+((V2-V1)/R1)+((V2-V3)/R3)=0
解くと（ぜひ体験を）
　　V2 = V1R23/(R1+R23)＋V3R12/(R3+R12)　…(4)
　　　　= 原形＋原形　…(5)
これも足し算ですね、原形のまんまですね？
電源がもっと増えれば足し算が増える、Rijk…が肝でしょ？けっこう使えるから雰囲気を記憶しておきましょう。

自力解決に必要なのは、最初の
>>　抵抗分割は途中で電流が分岐していてできないはずだし <<
で立ち止まらないで、電流源をつないだ等価回路を 自力で思い立つことです。　どの定理がどうのこうのはその後ですね、それは本見ながらで十分です。

　ということで、>>抵抗分割はM1の電流が流入してるからできないはずだし << は想像つきますよね？何と何の足し算になりそうか、おぼろげながらでも、、

３．
>>　vf1',vf2'の部分はこの取り出した部分であって素のアンプとは独立して考えると考えればいいような気がするのですが，そういうことでいいでしょうか？ <<

　です。で、もっとハッキリさせるために、オープンループ等価回路に帰還をかけますのでご覧下さい。
まずオープンループ等価回路。横幅を縮めて書きます。

　　　　　　　　　　　　Vf1’　　　　　　　　　　　　V2’
　　─ Vgs1’─┬──┬┐　　　　 ┌──┬──┬─
　　↑　　　　　(Id1)　　R1R2　　　　R2　　 (Id2)　　RL
　　Vg'　　　　　｜　　　｜｜　　　　 ｜　　　｜　　　┷
　　↓　　　　　 R3 　 　┷┷　　Vf2'┤　　　R4
　　┷　　　　　 ┷　　　　　　　　　　 R1 　 　┷
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ┷

　下図は利得1のバッファアンプで帰還をかけました。バッファアンプは入力インピが巨大で出力インピはゼロですから 上図と下図はインピ的には同じです。

　　　　　　　　　Vf1’が Vf になるのか？　　　　　V2
　 　 ─ Vgs1─┬──┬┐　　　　　┌──┬──┬
　　 ↑　　　　　(Id1)　　R1R2　　　　 R2　　 (Id2)　　RL
　　 Vg 　 　 　　｜　　　｜｜　／|　　｜　　　｜　　　┷
　　 ↓　　　　　 R3 　 　└┴< 1├─┤　　　R4
　　 ┷　　　　　 ┷　　　　↑ 　＼| ↑ R1 　 　┷
　　　　　　　　　　 　 　 　 ｜　　　　|　┷
　　　　　　　　　　 　 　 　 └──-┴ 電圧=V2R1/(R1+R2)

　上図がクローズドループ等価回路と同じに見えますか？それを確かめるに使うテクはまたも
　　　　　　　　　　　　┌-Ｒ-┐
　─R─○─ 　 ⇔　┴（→)┴
　　　電圧源V　　　　電流源 Ｉ=V/r　　　
です、
回路学の最初の方で見た気がするでしょ？
まず下図はバッファアンプを電圧源で表しました。この図は ANo.8の冒頭の図と正確に対応してるはずです。

　 　 ─ Vgs1─┬──┬┐　　 ┌──┬──┬
　　 ↑　　　　　(Id1)　　R1R2　　R2　　 (Id2)　　RL
　　 Vg 　 　 　　｜　　　└┤　　┤　　　｜　　　┷
　　 ↓　　　　　 R3　 　 　 ○　　R1 　　 R4
　　 ┷　　　　　 ┷　　　　 ┷　　┷　　　┷
　　　　　　　　　　　　　　電圧源
　　　　　　　　　　　 V2R1/(R1+R2)　…(6)
　　　　　　　　　　　　　 　↓
　　　　　　　　Vfかな？　　　　　　　　　V2
　 　 ─ Vgs1─┬─┬┬-┐　　 ┌──┬──┬
　　 ↑　　　　 (Id1)　R1R2(↑)　　R2　　 (Id2)　　RL
　　 Vg 　 　 　　｜　 └┼-┘　　 ｜　　　｜　 　 ┷
　　 ↓　　　　　 R3　　　|　　　　　 R1　　　R4
　　 ┷　　　　　 ┷　 　 ┷　　　 　┷　　　┷
　　　　　　　　　　　　電流源
　　　　　　　　　　　　= ｛V2R1/(R1+R2)｝/(R1//R2)
　　　　　　　　　　　　= V2/R2　体験を。…(7)
　　　　　　 　　　　　　　　↓
　　　　　　　　Vfかな？　　　　　　　　　V2
　 　 ─ Vgs1─┬─┬┐　　 ┌──┬──┬
　　 ↑　　　　 (Id1)　R1R2　　R2　　 (Id2)　　RL
　　 Vg 　 　 　　｜　 ┷｜　　｜　　　｜　 　 ┷
　　 ↓　　　　　 Ｒ3　　 ○　　R1　　　R4
　　 ┷　　　　　 ┷　 　 ┷　　┷　　　┷
　　　　　　　　　　　　電圧源 V2

　R2が電圧源V2につながるということは右側のV2ノードにつないでも同じ！のはずですよね。でも当のV2ノードとしては 勝手につながれると電流配分が狂ってしまう。橋渡しになるR2を V2ノード側から見ると そのインピは？（ゲートは切れてますね、電流源のインピは？）　そのインピと同じインピがある！から そいつを取り除いてつなげば インピ変わらず電流配分も‥
（ 華麗に論理展開してる教科書や専門書だけではこういうstrategyは身に付きません、場数を踏んで鍛えましょう。）

　さて しつこく、>>抵抗分割はM1の電流が流入してるからできないはずだし << は、オープンループ等価回路での Id1 の流れ道は R1//R2 しかないことに気付けば、上記の２項で書いた『原形と電流源×抵抗並列』の足し算でしたね。Vf2’はどっちの項でしょうか。　これでハッキリしたでしょう、 Vf1'Vf2'の意味は 上記の２項の理解そのものだったのでした。

　申し訳ないです、急な仕事で帰って来れませんでした。やっと日常ペースに戻れそうです。

お礼

>変えられないので Roと同じ値のものを追加する必要があります
元のRoの位置を変えずに新たに余分にRoを追加すればいいなら納得です．

>組み替えれるのだと分かって欲しいので無駄っぽいことを書きました。
おかげ様で組み替えが可能であるということは理解できました．

>ところで気になるんですが、その記述の後でRHi=R2が他の式に使われてるんでしょうか。
特に使われていないです．その記述でただRHi=R2ということが書かれているだけです．

>V2 = V1R2/(R1+R2) ＋ Ｉ(R1//R2)　…(2)
導出していただいたこの結果を見てハッと気付いたのですが，これはまさに重ねの理(principle of superposition)ですね．Iの部分を開放したのとV1の部分を短絡したのを重ね合わせたということですね．つまり，抵抗分割の関係は節点(node)に余分に電圧や電流が印加されても残るというわけですね．それに余分な項を追加すればいいと．なんで気付かなかったのやらf(^^;気付くの遅すぎですね．

>回路学の最初の方で見た気がするでしょ？
はい．トランジスタの等価回路のところでもよく使うテクニックですね．

>華麗に論理展開してる教科書や専門書だけではこういうstrategyは身に付きません、場数を踏んで鍛えましょう。
はい．Teleskopeさんくらいのレベルに到達できるようこれからも精進しようと思います．回路の極意のようなものを教えていただいてありがとうございました．

>これでハッキリしたでしょう
はい．実際の回路の一部（例えば逆L型）を２端子対回路網として眺めたり，鳳・テブナン等価回路に置き換えするというテクニックの重要性など，いろいろな導出をして頂いたおかげで理解を深める事ができました．

>申し訳ないです、急な仕事で帰って来れませんでした。やっと日常ペースに戻れそうです。
お仕事お疲れ様です．何か重大なプロジェクトでもやっておられるのでしょうかね(^^)お忙しい中こんなに丁寧に回答を書いて下さって本当に感謝感謝感謝です！こんな文章でしかお礼ができなくて申し訳ないくらいです．

回答No.9

Teleskope

誤記訂正；

入力側
Vi = Vs－Vfを RiとRHiで分圧 = (Vs-HVo)・J　…(1)

　　　　　　↓
Vi = (Vs-HVo)をRiとRHiで分圧 = (Vs-HVo)・J　…(1)

お礼

訂正していただいてありがとうございました．

補足

Q1. なぜH=vf'/v2'=R1/(R1+R2)という値になるのでしょうか？計算方法がいまいちよく分かっていません．
Q2. No.199のオープンループの交流等価回路で
Notice that the open-loop circuit now contains two values of R2 and vf'. In this example, since r_o(←ドレイン抵抗) was assumed to be infinite, the gain from v2' to vf1' will be zero. If r_o had not been neglected, the gain from v2' to vf1' would have been small but finite. Therefore, it can be said that a reverse path exists through the basic amplifier as well as through the feedback network. However, the gain from v2' to vf2', through less than one, will be significantly larger than from v2' to vf1'. Therefore, just as the forward path through the feedback network was neglected, the reverse path through the basic amplifier is assumed to be much smaller than the reverse path through the feedback path. Therefore, the value of H is calculated using the resistor, R2, closest to the output.
vf1', vf2'とHの間には何か関係があるのでしょうか？これらの意味が完全に理解できていないんですが，Hの値を出すのに関係しているのでしょうか？

回答No.8

Teleskope

どうも遅くなりました。No7はすみませんでした、「どちらも閉ループ」などと血迷ってるし RHiを忘れたのでは話にならないので無かったことにして下さい。

　　　　I i →　　　　　　　　　　　　　　　← Io
　　Vs──┐　　　　　　　┌─Ro─┬─ Vo
　　　　↑　│　　　　　　　｜　　　　　|
　　　　Vi　Ri　　　　　　（AVi）　　　 RHo
　　　　↓　｜　　　　　　　｜　　　　 ｜
　　　　　　 ｜　　　　　　　｜　　　　 ｜
　　　　　　 RHi　　　 　 　 ┷　　　　 ┷
　　　　　　 ｜
　　　　　　Vf = HVo
　　　　　　 ┷

１．帰還後の利得；（再）
入力側
　　Vi = Vs－Vfを RiとRHiで分圧 = (Vs-HVo)・J　　…(1)
ここに J = 分圧比 = Ri/(Ri+RHi)
出力側
　　Vo = (AVi)をRoとRHoで分圧 = (AVi)・K　　…(2)
ここに K = 分圧比 = Ro/(Ro+RHo)
Voの式にViを代入して整理すると
　　Vo/Vs = AJK/(1+AJKH)　　　…(3)
となるはずなんですが‥ご確認を。
これは、
標準形の　Gain =μ/(1+μβ)　の式ではμが分子分母に居る、それに形を合わせる という よくやる式変形のテクです。こうしてしまえば 話はあっと言う間で、
　　βはH　　…(4)
　　μはA_open≡AJK = ARiRHo/((Ri+RHi)(Ro+RHo))　　…(5)
と「決めつけられ」てしまいました。どういう意味かと言うと、

　まずHの実体。あの回路ではM2からM1への帰還pathはR2しかないので必然的に

　　　出─┬─R2──入
　　　　　　R1
　　　　 ─┴────

と決まってしまいます。ソースフォロア単体でもRsは帰還の役割ですよね。ですから「R1はM1のソース抵抗だ」という先入観を克服して
　　RHo = R1+R2　　右側から見ると直列
　　RHi = R1//R2　　左側から見ると並列
と理解してください。（こういう４端子をよく逆Ｌ型と呼びます。）
R1とR2を２組用意して RHi側には並列に RHo側には直列に付ける、この流儀?に従ってくれれば 冒頭の図の標準形のままに‥‥ということです。

　Hが定義された結果、アンプ側は；
単純に一カ所を切るとか R2を外すとか インピが変わらぬように付け足す とかではなく、この流儀?の通りにオープンループ回路を「作って」ください、そうすれば綺麗な帰還理論の式が使えて場当たり的な式を立てなくて済みます、ということです。（例えば、単純に R2 を外しただけの回路をオープンループ回路であるとしてしまうと、冒頭の図に付け足しブロックが必要になる、ということです。）

　(5)式を図にすると　A_open≡V2'/V1'

　　Ｖ1’──┐　　　　　┌─Ro─┬─ V2’
　　　　　↑　│　　　　　｜　　　　　|
　　　　　Vi’ Ri　　　　（AVi’）　　RHo
　　　　　↓　｜　　　　　｜　　　　 ｜
　　　　　　　 ｜　　　　　｜　　　　 ｜
　　　　　　　 RHi 　 　　 ┷　　　　 ┷
　　　　　　　 ｜
　　　　　　　 ┷

　　　　　　　　┯　　　　　　　　 ┯
　　　　　　　　R3　　　　　　　　R4
　　　　　　　　│　　　　　　S←┘
　　　　　　　D┴────G
　Vg1’──G　　　　　　　 D─┬──┬─ V2’
　　　　　　　S→┐　　　　 　 　│　　　│
　　　　　　　　　 │　　　　　　　R2　　 RL
　　　　　　　　　 ├─┐　　　　│　　　┷
　　　　　　　　　 R1　 R2　　　 R1
　　　　　　　　　 │　 │　　　　│
　　　　　　　　　 ┷　 ┷　　　　┷

　余談；
場数を踏んてからいつか思い出してみてください。No7の補足を書いたとき、たぶん見慣れたA/(1+AH)と違う式は不安、不満足だったと思います。私も学生時代は万事がそんな心理でした。が、実はこの式は美味しい所を捨ててしまった出ガラシなんです。
>>　やはり現場では理論より実践経験ということのが重要なのですね．特に，高周波ではほとんど理論どおりにいかないそうですね．<<
　「理論より実践が重要」は SPICEや電磁界解析のようなツールがなかった時代での格言だと思います。私的には「理論式が役立たない」ではなく式の見え方が一変することが多かったです。これはこういう事だったのか！と。
　No7は失礼しました、集中できないし記憶と合わないしで載せるのを迷ったんですが、、RHiを忘れてたからなんですね。
　だいぶ錯綜しましたので、まだ解決してない事項があったら整理して請求して下さい。

お礼

とても分かりやすいアドバイス＆ためになる余談ありがとうございます．
＞Voの式にViを代入して整理すると
＞　　Vo/Vs = AJK/(1+AJKH)　　　…(3)
＞となるはずなんですが‥ご確認を。
ANo.7のお礼の所に書いたものも式変形すれば(3)式になりました．
Vo/Vs = AK/(1+RHi/Ri+AKH)
= AK/{(Ri+RHi)/Ri+AKH}
= AK/{1/J+AKH}
= AJK/(1+AJKH)

A_open=V2'/V1'から機械的に
A_close=A_open/(1+A_openH)
で求まる理由も(5)式とTeleskopeさんが描いて下さった下から二番目のHVoを消した図との関係から納得することができました．嬉しいです．だいぶ分かってきた気がします．
最後に補足回答よろしくお願いします．

補足

ANo.9のQ1のHは
Next, the value of H can also be calculated from the open-loop model. Remembering that H is defined as the gain from the output back to the input mixing variable, vf, we can write

H = vf'/v2' = R1/(R1+R2)

since the H network is simply a voltage divider relationship.
ということですが，抵抗分割は途中で電流が分岐していてできないはずだし，No.199のオープンループの交流等価回路から求めることがどのようにしてできるというのか分からないのです．
よろしくお願いしますm(__)m

回答No.7

Teleskope

帰還アンプの全系特性

　　　　　Riの両端=Vi
　　Vs─┐
　　　　　Ri　　　　　(AoVi)─Ro─┬─ Vo
　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　Vf=HVo　　　　　　　　　 RHo
　　　　　┷　　　　　　　　　　　　　┷

１．帰還後の利得；
定石のままに；
　　Vs = ViとVfの直列と釣り合い = Vi+HVo　…(1)
　　Vo = (AoVi)の抵抗分割 = (AoVi)・K　　…(2)
ただし K = 分圧比 = RHo/(Ro+RHo)
(1)式をVi=にして(2)式に入れて整理すれば
　　Vo/Vs = AoK/(1+AoKH)
そして普通、RHo>>Ro ゆえK≒1で
　　Vo/Vs = Ao/(1+AoH)　　…(3)

２．全系の入力インピ Rinf；
Vsからの電流I1は
　　I1 = (Vs-Vf)/Ri
入力インピとは Vs/I1 のことゆえ上式をそう書き直すと
　　Rinf≡Vs/I1 = Ri/(1-Vs/Vf)
分母に Vf =HVo と(3)式を入れれば
　　Rinf = Ri(1+AoH)　　…(4)
つまり 帰還が無いときより (1+AoH)倍に増える。
あるいは
　　Rinf = Ri＋(AoH)Ri
つまり Vf のところは (AoH)Ri と等価だと言えます。おやおや、Hの内部は何も分からないのに「あなたはコレコレのインピに見えます」と言われてしまった。

３．全系の出力インピ Rof
も段取りは同じです。どうぞご自分で。（最後の所をインピダンスRofの逆数、アドミタンスyofで書けば同様な…。足し算はインピなら直列、アドミなら並列ですよね。）

－－－－－－－－
以上、とりあえずupしておきます、時間取れ次第残りの方を書きます、が、ざっと見て気になったのですが、RHiは本当に=R2と書かれてあるんですか？（アタマが集中してないのでハズしてるかも知れません）　
これほどの図を作成するのは大変だったと思います、無理言ってすみませんでした。でも百聞は一見に如かずでした！等価回路はどちらも「閉ループ」です、オープンループと書いてある方も閉ループの等価回路です。

お礼

お忙しい中，丁寧に回答いただいてありがとうございます．
１．はRHiを忘れていて正しくはNo.203の図で
１．帰還後の利得；
定石のままに；
　　Vs = ViとVfの直列と釣り合い = Vi＋RHi・ii＋HVo = Vi＋RHi・(Vi/Ri)＋HVo　…(1)
　　Vo = (AVi)の抵抗分割 = (AVi)・K　　…(2)
ただし K = 分圧比 = RHo/(Ro+RHo)
(1)式をVi=にして(2)式に入れて整理すれば
　　Vo/Vs = AK/(1+RHi/Ri+AKH)
そして普通、RHo>>Ro ゆえK≒1で
　　Vo/Vs = A/(1+RHi/Ri+AH)　　…(3)
の間違いですよね？？でもこれだと綺麗に□/(1+□H)の形になっていませんよね？

補足

>おやおや、Hの内部は何も分からないのに「あなたはコ
>レコレのインピに見えます」と言われてしまった。
で「Hの内部は何も分からないのに」の"分からないのに"という言葉の部分は「増幅器と減衰器は明確に分離できず，相互に関係した形で共存しているよ」というようなことを意味しておっしゃられているのでしょうか？

RHiは本当に=R2と書かれてあるんですか？
はい．『RHi=R2』であり，『RHo=R1+R2』です．これらが入力と出力に入っています(No.199参照)．

回答No.6

foobar

ちょっと問題の切り口を変えてみた方がいいかな。

減衰器が理想の時が納得できるなら、
現実の減衰器を

ーーーRi(H)ーー｜理想減衰器｜－－－－－
　　　　　　　　｜　　　　　｜　　　｜
　　　　　　　　｜　　　　　｜　　Ro(H)
　　　　　　　　｜　　　　　｜　　　｜
ーーーーーーーー|　　　　　｜－－－－－

として考えては如何でしょう？

これで、帰還が無い時の利得Aを見るというのは、
「理想減衰器の減衰率を無限大(入力側に帰還する電圧vfが0）にした時の利得」
ということをイメージすれば、無帰還時の利得を求める際に、Ri(H),Ro(H)を考慮する必要がある　というのがイメージしやすいのではないかと。（帰還回路をつなぐと、Ri（H),Ro(H)が繋がってしまうので、入力電圧ではRi(H)による電圧降下を、出力ではアンプの出力インピーダンスとRo(H)による分圧を考慮する必要があると。）

補足：回路によっては、(帰還回路も含めて)直接全体の利得を計算することも、もちろんあります。どっちの手法をとっても出てくる結果は同じです。どちらを使うかは、
・帰還回路を分離しやすいか
・分離した結果、計算が容易になるか
で決めることが多いかと。

お礼

回答ありがとうございます．
お詫びしなければならないのですが，
『直列－並列帰還』の間違いでした．混乱を起こし申し訳ありませんでした．
再考よろしくお願いします．

回答No.5

Teleskope

ドレインからの帰還だと 並列－直列ではなく並列－並列帰還ですか？（バイポーラでも理想Tr化すればいいかとも思いますが、）構成がはっきりしないのでその回路どこか画像掲示板にアップしていただけませんか。ペイントツールの手書きでも十分です。たとえば私が載せてもらってる場所は
http://magical.mods.jp/futaba/interior/imgboard.htm

　文中の回路の文字絵は一種のスキャナツールのお世話になってます、絵師の自作ツールです。同じ事をキーボード手作業でやるのは時間と根気の面でとてもとても無理です。
　このサイトが画像添付になってくれれば良いんですが、競合QAサイトとの差別化の切り札としてやって欲しいですね。なお、自分サイトへのリンクはルール上禁止なので、どこか流れの遅い画像掲示板を使うのが良いと思います。

　閑話休題で本題の方ですが、
閉ループにしないで、A回路のあとにH回路を直列につないだ全体の特性、いわゆる 一巡（いちじゅん）伝達関数 AH 。　閉ループの安定は、閉ループ伝達関数の分母 1/(1+AH) で決まるわけですよね。ですから AH を測るんです。　分子の方はどーでも良いんです。AがA1,A2,A3‥と部分の集合からなっていて、どれを取り出して「これが出力です」と決めても、ループの安定に関係ない。これを飲み込めれば「なぜループを切り離して測定、のような奇妙なことをするのか」が腑に落ちます。（実際は、教科書のようにAとHが明確に別個のものだとは限りませんよ。）
　私の経験では、こうして文章に書かれたものをいくら読まされても身に付きませんでしたね。覚えたのは実際の設計ででした。頑固な異常発振で困って、帯域幅を削れば発振を押さえ込める、しかしそれでは必要な性能に届かないから作る意味が無い と行き詰まって 色んな測定法を試させられた、正直その修羅場で覚えたような気がします。

お礼

回答遅くなりました．Teleskopeさんに教えて頂いたサイトに回路の画像をアップしました．結構粗末な絵ですが，十分認識できると思います．
あとお詫びしないといけないのですが，
『直列－並列帰還』の間違いでした．
今までのものをすべて白紙にしてもう一度再考お願いします．
定義は画像に使用してある変数の利用をお願いします．

補足

やはり現場では理論より実践経験ということのが重要なのですね．特に，高周波ではほとんど理論どおりにいかないそうですね．

心機一転アップした回路で
『RHi：v2=0とおいて入力側から見たインピ．』は『v2=0とおいてR2の入力側から見たインピ．』であり，これは
　RHi=R2．

『RHo：入力信号源を除去し出力側から見たインピ．』は今度はR2の出力側から見たインピで
　RHo=R1＋R2．
となります．

よく分からないのが，なぜ
H=vf'/v2'=R1/(R1+R2)
と求められるのか，
vf1',vf2'の意味がしっかり理解できていません．

回答No.4

Teleskope

１．
>>　具体的には
>>　RHi：v2=0とおいて入力側から見たインピ．
>>　RHo：入力デバイスを除去して出力側から見たインピ．
>>　次にループを切断し、入力にRHiを、出力にRHoを、共に並列に付ける
>>　ループ切断後の信号名に ’をつける
>>　Ao=v2'/v1'　（オープンループゲイン）
>>　H=vf'/v2'　　（帰還路の伝達関数）
>>　と求めたものからクローズドループゲインは
>>　v2/v1=Ao/(1+AoH)
>>　で求める事ができるとなっています．<<

最後の式：
v2/v1=Ao/(1+AoH)
=(V2'/V1')/(1+(V2'/V1')(Vf'/V2'))
=(V2'/V1')/(1+(Vf'/V1'))
=(V2'/V1')/((V1'+Vf')/V1')
=V2'/(V1'+Vf')
となるから、最初と最後から
　　V1=(V1'+Vf')　なのか？
という疑問に凝縮されますよね？
移項すると
　　V1'=V1-Vf'
ふむ、帰還加算点の後の信号＝入力信号－帰還信号、という式のような‥

　　　　　　　V1'
　　　　　　　↓
　　V1─○──μ─┬─ V2'
　　　　　│　　　 　 　│
　　　　　└──β─┘
　　　　　↑
　　　　　Vf'

だとすれば、
>>　どうしてこんなふうにして求められるのかこんな単純に求められるのか怪しくその <<
は解決しますか？では具体的に；

２．
>>　ある本では、例えば並列－直列帰還

　　　　　　　　　──┬──-┬　
　　　　　　　　　　　　│　　　 R5
　　　　　　　　　　　　R2 　 　 │
　　　　　　　　　　　　│　　　　C
　　　　　　　　　　　　C───B
　　V1 ─R1─┬─B　　　　　E
　　　　　　　　 R4　　E　　　　│
　　　　　　　　 └──)─-─┤
　　　　　　　　　　　　│　　　 R3
　　　　　　　　　　　　｜　　　 ｜
　　　　　　　　　　　　┷　　　 ┷
　直列－並列帰還されてる増幅回路（コモンエミッタ＋エミッタフォロア）でよろしいですね。

>>　RHi：v2=0とおいて入力側から見たインピ．
>>　RHo：入力信号源を除去し出力側から見たインピ．
>>　入力にRHiを、出力にRHoを、共に並列に付ける

を示してみてください。切断はどこを斬るか。出力はR5でも良いですが、2段目のエミッタが話が単純でしょう。特に入力にRHiを付加して信号はどう加えるのですか？RHi経由初段Trではありませんか？ またRHiを求めるときV1端子はオープンですかV1=0ですか。

（この回路はV1も帰還路も無いと初段がカットオフしますが、それは別途なんとかすることにして無視しましょう。）

お礼

回答ありがとうございました．
No.5以降からまた議論よろしくお願いします．

補足

バイポーラTrだとベース電流があり面倒なので，簡単化のためバイポーラTrをMOSFETに変更してもいいでしょうか．あとちょっとどこで入力の和をとっていいのか分からないので，勝手ですいませんが少し変更させて頂きます．
左側nMOS(CBEのところ)をM1，右側pMOS(CBEのところ)をM2とします．
一番上のレールの電源VDDとし，R1とR4の間にキャパシタC1を追加，R4とVDDの間にR6,M1のソースSにR7，M1のソースとR3の上の節点(M2のドレイン)の間にR8追加．
このとき，交流等価回路にすると，交流電源v1は
R1→R4//R6→GNDとなって戻ってきます．これはどうでもいいのですが．
さて本題は
フィードバックの電圧vf=(R7の両端電圧)
アンプの入力電圧vi=vGS1
回路全体の入力電圧vs=(R4の両端電圧)
出力電圧v2=(R3の両端電圧)
として，vi=vs-vfとなります．
フィードバックのループはM2のドレインからR8を通ってM1のソースへと戻ります．
ドレイン抵抗rdを無視した交流等価回路にした上で考察頂けるといいと思います．
このとき，
『RHi：v2=0とおいて入力側から見たインピ．』は『v2=0とおいてR8の入力側から見たインピ．』であり，これは
　RHi=R2．

『RHo：入力信号源を除去し出力側から見たインピ．』は今度はR8の出力側から見たインピで
　RHo=R7＋R8．
となります．
すいません．Teleskopeさんのように綺麗にやっぱり正確に回路を描きたいので，描き方教えて頂けますか？？今，気付いたのですが，─)─の部分は上へまたいでいるということなのですね．とすると今述べたことは一部設定がおかしいのでもう一度整理しなおします．お手数掛けて申し訳ありません．

回答No.3

LCR707

OPアンプのように、入力インピーダンスが非常に大きく、出力インピーダンスが非常に小さい場合は、帰還回路をその中間位のインピーダンスで構成すれば、実質上アンプの入力インピーダンスは∞、出力インピーダンスは０Ωと見なせるので、ゲイン A のアンプと帰還量 H の回路をあたかもブロックを組み立てるようにくっ付けるだけで
　G = -A / (1+AH)
が成り立ちます。

　しかし、トランジスタによるアンプの場合は、出力インピーダンスはほぼ負荷抵抗に等しく、入力インピーダンスもバイアス回路などがあるため、それほど高くはありません。従ってこれに帰還回路をくっ付けると、アンプの裸のゲイン A は、帰還回路の入力インピーダンスが負荷抵抗に並列になるので低下しますし、帰還回路の伝達特性 H もアンプの入力インピーダンスが負荷になるので、伝達量や周波数特性が変化します。
　従って、あらかじめその影響を補正したA'やH'を計算しておけば、ブロックをくっ付けるような形になり、
　G = -A' / (1+A'H')
で計算できます。回路的には、アンプA'と帰還回路H'の２つの接続点にそれぞれ、Zi＝∞、Zo=0、A＝１のバッファアンプを入れたようなイメージになると思います。

お礼

回答ありがとうございました．

回答No.2

foobar

回路全体を計算して、v_2/v_1=A/(1+AH)の形に当てはめて、AとHを算出　というのはほとんど行わないかと。
逆に、AとHを計算して(それぞれ個別に計算するので、計算がより簡単になる）そのあとに、全体の利得をA/(1+AH)で
計算することが多いです。

クローズドの利得をG(v2/v1)、オープン利得をA(=v2/v0)、(アンプの出力を2、アンプ単体の入力をv0、回路全体の入力をv1、)帰還回路で戻って来た電圧をvfとすると、
v0=v1-vf, v2=A*v0, vf=H*v2 の関係がありますので、これを解くと
G=A/(1+AH)になります。
オープンループ利得を計算するときに、負帰還回路の入出力抵抗を使うのは、負帰還回路がアンプの負荷や入力にぶら下がって、何もぶら下げないときと変わってしまうため。

お礼

回答ありがとうございます．
実際は，後者の方が一般的なのですね．前者の方法は初心者にわかり易くするためにわざとそういう計算方法をしているのでしょうかね．

減衰器が理想的である
R_(Hi)→0
R_(Ho)→∞
のときは
＞v0=v1-vf, v2=A*v0, vf=H*v2 の関係がありますので、これを解くと
G=A/(1+AH)になります。
というのは素直に納得できます．

以下，foobarさんの定義で変数を表わします．
アンプの入力インピーダンス：Ri
アンプの出力インピーダンス：Ro
ところが，減衰器が理想的でない場合は，2端子対回路網で減衰器を表現すると，減衰器の入力にR_(Hi)とHv_2が直列に入り，出力にR_(Ho)が入った形となると思います．このとき，vf=(R_(Hi)の両端の電圧)＋Hv2
v2=(R_(Ho)の両端の電圧)=(Roの両端の電圧)＋Av0ですよね．
とすれば
v0=(Riの両端の電圧)ですが，
もしかしてループを切断した回路でのパラメータはv0'≠v0，v2'=v2であり
v0'=(Riの両端の電圧)＋(R_(Hi)の両端の電圧)
vf'=Hv2'=Hv2
としているということでしょうか？？
これなら，v1'(=v1)=v0'+vf'
A_(open)≡v2'/v1'のとき
A_(close)≡v2/v1？？あれっでもこれじゃA_(open)=A_(close)となってしまいますね．どこかを勘違いしているのでしょうか？？