ｘ ＞＝ ｙの条件は必要？

質問

一の位が０でない２けたの自然数から、十の位と一の位を入れ替えた自然数をひくと、差が９の倍数になることを十の位の数をｘ、一の位の数をｙとして説明しなさい。ただし、X >= Yとします。

という問題で、
答えは（１０ｘ＋ｙ）－（１０ｙ＋ｘ）＝９（ｘ－ｙ）となり、ｘ－ｙは整数より９の倍数である。となります。

ここで、疑問に思ったのですが、なぜｘはｙ以上でなければいけないんでしょうか？
たとえば、－９は９の倍数ではないのでしょうか？
この条件では０は良いのに、負の数はダメとなってしまうので納得できないのですが。。

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

目のつけどころがいいですね．
そういうひねくれた，じゃなかった懐疑的な精神が数学の力の向上には必要です．

＞なぜｘはｙ以上でなければいけないんでしょうか？

いけないことはありません．

＞たとえば、－９は９の倍数ではないのでしょうか？

－９は９の倍数です．

さて，本題に戻ると，X＜Y　を満たす場合が見つかったとすると，これは　X≧Y　の場合のある解を入れ替えただけになります．

８１がX≧Yの場合なら，１８はX＜Yの場合です．十の位と一の位を入れ替えると，それぞれ相手になります．

結局，同じ組を逆から見ただけなので，はじめの数がX≧Yの場合に制限して示せれば一般性は失われず十分であることがわかります．

お礼

回答ありがとうございました。

＞そういうひねくれた，じゃなかった懐疑的な精神が数学の力の向上には必要です．

（≧∇≦）ぶぁっはっはっ！！

結構深い意味があるのかと思ってしまいました。

証明の効率を上げるためなのですね。

大変よくわかりました。

補足

あっ！補足なんですが。。０は９の倍数でしょうか？

回答No.4

oshiete_goo

０＝９×０＋０
０を９で割ると商が０，余り０．
よって０は９の倍数ですね．

お礼

回答ありがとうございました。

これで疑問は解決いたしました。＾－＾

回答No.3

fushigichan

tknzawaさん、こんばんは。

＞ここで、疑問に思ったのですが、なぜｘはｙ以上でなければいけないんでしょうか？

x≧yというのは、最初の条件なので、別にこれがなくってもいいです。
例えば、x=4,y=2とすると、
４２－２４＝１８・・・９の倍数。

ですが、x=2,y=4としても
２４－４２＝－１８・・・９の倍数。
となってどちらも正解です。

しかし、これらは同じ解を表していますよね。
(2,4)と(4,2)というのは同じ数字を表しています。
２４と４２、４２と２４という見る順序が逆になっているだけで。
こういった重複をさけるために、x≧yという条件をもうけておこう、という
配慮で最初に条件が与えられているだけだと思います。

お礼

回答ありがとうございました。

証明の効率を上げるためなのですね。

てっきり、負の数は倍数ではないのかと思ってしまいました。＾＾

補足

あっ！補足なんですが。。０は９の倍数でしょうか？

回答No.1

noname#21343

「自然数」って、「マイナスの整数」は入らなかったんじゃなかったけ？

補足

確かに入りません。

しかし、この場合、１９－９１の場合も良くなくてはならないのではないか？。。と。。

回答ありがとうございました。