３つの連続する整数の積は６の倍数であることを式で証明できませんか

質問

３つの連続する整数の積は６の倍数であることを式で証明できませんか
たとえば３つの連続する整数の中に２と３あるいはその倍数が含まれているので
その積は必ず６の倍数になるのですが、数を代入せず式として証明したいのですが
どなたか証明式を教えてください、お願いします

回答No.8

nag0720

＞たとえば３つの連続する整数を６ｍ－１，６ｍ、６ｍ＋１とするとその積は必ず６の倍数になるため証明になっていないように思われるのですが

任意の整数は、6m,6m+1,6m+2,6m+3,6m+4,6m+5　の６種類に分類されます。(6m-1は6m+5と、6m-2は6m+4と同じ種類です）

３つの連続する整数を6m-1,6m,6m+1だけに限るのは片手落ちで、
6m-2,6m-1,6m
6m-1,6m,6m+1
6m,6m+1,6m+2
6m+1,6m+2,6m+3
6m+2,6m+3,6m+4
6m+3,6m+4,6m+5
の６通りすべてを証明しなければなりません。

はじめの３つは、6mを含むから自明ですね。
後の３つは、
(6m+a)(6m+b)(6m+c)=6m(36m^2+6(a+b+c)m+ab+bc+ca)+abc
なので、abcが6の倍数なら、(6m+a)(6m+b)(6m+c)は6の倍数になります。
6m+1,6m+2,6m+3は、1×2×3=6
6m+2,6m+3,6m+4は、2×3×4=6×4
6m+3,6m+4,6m+5は、3×4×5=6×10
なので、すべて６の倍数です。

お礼

６ｍを含まない場合の証明を説明していただいてよくわかりました
ありがとうございました

回答No.7

mister_moonlight

＞連続する２つの整数の積は２の倍数であることの証明はご指摘以外は難しいですか？たとえば３つの連続する整数を６ｍ－１，６ｍ、６ｍ＋１とするとその積は必ず６の倍数になるため証明になっていないように思われるのですが、

何が言いたいの？　意味不明なんだが。
推測して書くと、6の倍数は2の倍数じゃないの？

回答No.6

mister_moonlight

うっかりミス。。。。。。。ｗ

（誤）（2k）*（2k＋1）＝4k＾2＋2k＝2k＾2-2k＋2k＾2＋2k＝2k*（k-1）＋2k*（k+1）＝2{k*（k-1）＋k*（k+1）}であるから、2の倍数。

（正）（2k）*（2k＋1）＝2*（k）*（2k＋1）であるから、2の倍数。

お礼

連続する２つの整数の積は２の倍数であることの証明はご指摘以外は難しいですか？
たとえば３つの連続する整数を６ｍ－１，６ｍ、６ｍ＋１とするとその積は必ず６の倍数になるため証明になっていないように思われるのですが、勝手な理屈で申し訳ありません

回答No.5

mister_moonlight

先ず、連続する2つの整数の積が2の倍数である証明。

2つの整数を、2kと2k＋1（kは自然数）とすると、（2k）*（2k＋1）＝4k＾2＋2k＝2k＾2-2k＋2k＾2＋2k＝2k*（k-1）＋2k*（k+1）＝2{k*（k-1）＋k*（k+1）}であるから、2の倍数。

その上で、3つの連続する整数を、3m-1、3m、3m＋1（mは自然数）とすると、（3m-1）*（3m）*（3m+1）＝12m＾3－１2m+12m＾3+12m+3m＾3-3m＝（12m）*（m+1）*（m-1）＋（12m）*（m＾2＋1）＋3（m）*（m+1）*（m-1）。
第1項と第2項は12の倍数から6の倍数、第3項は（m）*（m+1）は連続する2つの整数の積から2の倍数だから、3（m）*（m+1）は6の倍数。

以上により、3つの連続する整数の積は6の倍数。

お礼

２７ｍ＾３を１２＋１２＋３に分ける発想は思いつきませんでした
勉強になりました
４ｋ＾２＋２k＝２ｋ＾２－２ｋ＋２ｋ＾２＋２ｋの等式が少し不明なのですが

回答No.4

osu_neko09

３つの連続する整数は
6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5,6k+6,6k+7のうち、連続する３つで表せます。
このように表してしまえば、場合分けして証明できると思います。
（１）6の倍数、6kまたは6k+6を含む場合
一目瞭然。積は必ず６の倍数になる。
（２）6k+1,6k+2,6k+3の場合、6k+2,6k+3,6k+4の場合、6k+3,6k+4,6k+5の場合
3の倍数（6k+3）と２の倍数（6k+2,6k+4の少なくとも一方）を含むので
積は必ず６の倍数になる。
Q.E.D.

No.2さんの
＞「３つの連続する整数の中に２と３あるいはその倍数が含まれているので」という説明だけで十分だと思いますよ。
というので十分だとは思いますが。

回答No.3

mamoru1220

No.2さんの
＞「３つの連続する整数の中に２と３あるいはその倍数が含まれているので」という説明だけで十分だと思いますよ。
というので十分かもしれませんが、質問者様が式で証明したいのであれば、
(1)3つの連続する数字の始まりが偶数の場合 2m*(2m+1)*(2m+2)
(2)3つの連続する数字の始まりが奇数の場合 (2m-1)*2m*(2m+1)
と場合分けをして証明することができます。

回答No.2

nattocurry

「数を代入せず」の意味がよく解らないのですが・・・

「３つの連続する整数の中に２と３あるいはその倍数が含まれているので」という説明だけで十分だと思いますよ。

必ず１つ存在する３の倍数を3m、少なくても１つは存在する２の倍数を2n、残りの数字をlとすると、その３つの数の積は　3m×2n×l＝6mnl　になるから、３つの連続する整数の積は６の倍数である、というだけじゃダメですかねぇ？

回答No.1

Tacosan

6 Σ(i=1→n) Σ(j=1→i) j = n(n+1)(n+2).
簡単.